Эквивалентность открытости множества и его совпадения с внутренностью
Множество \( A \) в топологическом пространстве \( X \) является открытым тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью. $$ A = \text{Int}(A) $$
Проще говоря, множество \( A \) считается открытым, если для каждой его точки можно найти открытую окрестность, целиком лежащую внутри \( A \).
Таким образом, равенство \( A = \text{Int}(A) \) удобно использовать как практический критерий открытости: оно означает, что множество \( A \) уже содержит все открытые подмножества, которые в принципе могут в нём находиться.
Внутренность множества interior of a set Int(A) определяется как наибольшее открытое множество, содержащееся в \( A \), и равна объединению всех открытых подмножеств множества \( A \).
Практические примеры
Рассмотрим топологическое пространство \( \mathbb{R} \) со стандартной топологией, в которой любой открытый интервал является открытым множеством.
На простых примерах проверим, как работает характеристика \( A = \text{Int}(A) \).
Пример 1
Пусть \( A = (0, 1) \) - открытый интервал.
$$ A = (0, 1) $$
Внутренность этого множества совпадает с самим интервалом.
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Так как \( A \) совпадает со своей внутренностью, оно является открытым множеством.
Пример 2
Рассмотрим замкнутый интервал \( B = [0,1] \).
$$ B = [0, 1] $$
Его внутренностью является интервал без граничных точек.
$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$
Поскольку \( B \neq \text{Int}(B) \), данное множество не является открытым.
Примечание: Эти примеры наглядно показывают, как понятие внутренности позволяет быстро определить, является ли множество открытым.
Доказательство утверждения
Докажем, что открытость множества \( A \) эквивалентна его совпадению с внутренностью \( \text{Int}(A) \).
1] Если множество \( A \) открыто, то \( \text{Int}(A) = A \)
Пусть \( A \) - открытое множество.
По определению внутренняя часть \(\text{Int}(A)\) состоит из всех точек \( A \), имеющих открытую окрестность, полностью содержащуюся в \( A \).
Так как \( A \) открыто, каждая точка \( x \in A \) обладает такой окрестностью.
Следовательно, выполняется включение
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
С другой стороны, внутренняя часть множества по определению всегда содержится в самом множестве.
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
Из этих двух включений следует равенство
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Если \( A = \text{Int}(A) \), то множество \( A \) открыто
Пусть теперь \( A = \text{Int}(A) \).
Возьмём произвольную точку \( x \in A \).
Так как \( x \) принадлежит внутренности множества, для неё существует открытая окрестность \( U \), целиком лежащая в \( A \).
Это верно для любой точки множества \( A \), а значит, по определению \( A \) является открытым.
3] Итог
Мы показали, что в топологическом пространстве множество является открытым ровно в том случае, когда оно совпадает со своей внутренностью, то есть когда выполняется равенство \( A = \text{Int}(A) \).
И так далее.
