Замыкание дополнения и дополнение внутренности
Замыкание дополнения множества A совпадает с дополнением внутренности множества A: $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A). $$
Это соотношение отражает одну из фундаментальных связей в топологии. Оно показывает, как операции замыкания и взятия внутренности естественным образом дополняют друг друга при переходе к дополнению множества.
Практический пример
Рассмотрим топологическое пространство \( X = \mathbb{R} \), наделённое стандартной топологией, в которой открытыми являются все открытые интервалы и их объединения.
Пусть множество \( A \subseteq X \) задано в виде замкнутого интервала:
$$ A = [1, 2]. $$
Чтобы наглядно убедиться в справедливости рассматриваемого утверждения, разобьём рассуждение на два шага: сначала найдём замыкание дополнения множества A, затем рассмотрим дополнение его внутренности.
1] Замыкание дополнения множества A
Дополнение множества A в пространстве \( \mathbb{R} \) имеет вид
$$ X - A = \mathbb{R} - [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty). $$
Чтобы получить замыкание этого множества, необходимо добавить все его предельные точки.
В данном случае дополнение множества A состоит из двух открытых интервалов. Точки 1 и 2 являются предельными, поскольку любая их окрестность содержит точки соответственно из множеств \( (-\infty, 1) \) и \( (2, \infty) \).
Следовательно, замыкание дополнения множества A имеет вид:
$$ \text{Cl}(X - A) = \text{Cl}\big((-\infty, 1) \cup (2, \infty)\big) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty). $$
2] Дополнение внутренности множества A
Внутренность множества \( A = [1, 2] \) представляет собой наибольшее открытое множество, целиком содержащееся в A. В данном случае
$$ \text{Int}(A) = (1, 2). $$
Тогда дополнение внутренности множества A равно
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty). $$
3] Вывод
Мы видим, что замыкание дополнения множества A и дополнение его внутренности совпадают:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty), $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty). $$
Следовательно, справедливо равенство
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A). $$
Доказательство
Рассмотрим произвольное множество \( A \subseteq X \) в топологическом пространстве X.
Замыкание дополнения множества A состоит из всех точек множества X - A, а также всех его предельных точек:
$$ \text{Cl}(X - A). $$
Дополнение внутренности множества A, в свою очередь, содержит все точки, не принадлежащие внутренности A:
$$ X - \text{Int}(A). $$
Докажем равенство \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\), установив два включения.
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Пусть точка x принадлежит множеству Cl(X - A). Это означает, что любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из X - A. Следовательно, x не может быть внутренней точкой множества A, поскольку в противном случае существовала бы окрестность, целиком лежащая в A. Значит, x не принадлежит Int(A) и, следовательно, принадлежит X - Int(A). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Пусть точка x принадлежит X - Int(A). Тогда она не является внутренней точкой множества A, а значит, любая её окрестность содержит хотя бы одну точку, не принадлежащую A, то есть точку из X - A. Следовательно, точка x принадлежит замыканию множества X - A.
Таким образом, оба включения доказаны, и тем самым установлено равенство
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A). $$
Это соотношение наглядно демонстрирует глубокую двойственность между операциями замыкания и взятия внутренности в общей топологии.
