كيفية تحديد داخلية مجموعة في ℝ

لفهم كيفية تحديد داخلية مجموعة في ℝ ضمن إطار الطوبولوجيا القياسية، يمكن الاستفادة من مثال عملي بسيط باستخدام لغة البرمجة R، مما يساعد على ربط المفهوم النظري بالتطبيق.

نبدأ بتعريف مجموعتين مفتوحتين نرمز لهما بـ A و B.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

تمثل هاتان القيمتان فترتين مفتوحتين من مجموعة الأعداد الحقيقية.

فالمجموعة A تمثل الفترة المفتوحة (1،3).

> cat("Interval A:", A, "\n")

Interval A: 1 3

وبالمثل، تمثل المجموعة B الفترة المفتوحة (0،4).

> cat("Interval B:", B, "\n")

Interval B: 0 4 

بعد ذلك، نعرّف دالة بسيطة تُستخدم لحساب داخلية أي فترة مفتوحة.

في الطوبولوجيا، تُعرَّف داخلية مجموعة بأنها اتحاد جميع المجموعات المفتوحة المحتواة كليًا داخل تلك المجموعة.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

باستخدام هذه الدالة، يمكننا حساب داخلية كل من المجموعتين A و B بسهولة.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

لنستعرض الآن النتائج المتحصّل عليها.

إن داخلية المجموعة A (1،3) هي اتحاد جميع المجموعات المفتوحة المحتواة فيها، وبالتالي نحصل على int(A) = (1،3).

> cat("Interior of A:", Int_A, "\n")

Interior of A: 1.00001 2.99999

وبالطريقة نفسها، فإن داخلية المجموعة B (0،4) تساوي int(B) = (0،4).

> cat("Interior of B:", Int_B, "\n")

Interior of B: 1e-05 3.99999

من الخصائص الأساسية لداخليات المجموعات في الطوبولوجيا أنه إذا كانت المجموعة A محتواة في المجموعة B، فإن داخلية A تكون محتواة أيضًا في داخلية B.

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

ويمكن التحقق من هذه الخاصية عمليًا باستخدام R كما يلي.

cat("Int(A) is contained in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is contained in Int(B): TRUE

تؤكد نتيجة التنفيذ أن داخلية المجموعة \( A \) محتواة فعلًا داخل داخلية المجموعة \( B \)، مما ينسجم تمامًا مع القاعدة النظرية.

وبهذا نكون قد ربطنا المفهوم الطوبولوجي بالتطبيق البرمجي بصورة واضحة ومباشرة.