احتواء داخل المجموعات في الطوبولوجيا

إذا كانت المجموعة $ A $ محتواة في المجموعة $ B $، فإن داخل المجموعة $ A $ يكون بالضرورة محتوى داخل داخل المجموعة $ B $. $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

تعتمد هذه الخاصية على فكرة بسيطة ومهمة في الطوبولوجيا، وهي أن كل مجموعة مفتوحة تقع داخل $ A $ لا بد أن تقع أيضًا داخل $ B $.

وبناءً على ذلك، فإن عملية أخذ داخل المجموعات تحافظ على علاقة الاحتواء بينها، ولا تغيّرها.

مثال تطبيقي
البرهان

مثال تطبيقي

لنأخذ مجموعتين $ A $ و$ B $ في مجموعة الأعداد الحقيقية $ \mathbb{R} $ مع الطوبولوجيا القياسية.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

من السهل ملاحظة أن المجموعة $ A $ تقع بالكامل داخل المجموعة $ B $، أي:

$$ A \subseteq B $$

في $ \mathbb{R} $ مع الطوبولوجيا القياسية، يُعرَّف داخل أي مجموعة على أنه اتحاد جميع المجموعات المفتوحة المحتواة فيها.

داخل A
تحتوي المجموعة $ A = [1, 3] $ على المجال المفتوح $ (1, 3) $، ومن ثم يكون داخلها: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
داخل B
تحتوي المجموعة $ B = [0, 4] $ على المجال المفتوح $ (0, 4) $، ومن ثم يكون داخلها: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

نلاحظ مباشرة أن $ \text{Int}(A) = (1, 3) $ يقع داخل $ \text{Int}(B) = (0, 4) $.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

يوضح هذا المثال بشكل واضح أن احتواء مجموعة داخل أخرى يؤدي إلى احتواء داخلها داخل داخل المجموعة الأكبر.

البرهان

لنعتبر مجموعتين $ A $ و$ B $ في فضاء طوبولوجي $ X $ بحيث $ A \subseteq B $.

هدفنا هو إثبات أن $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $، حيث يرمز $ \text{Int}(A) $ إلى داخل المجموعة $ A $.

بحسب التعريف، فإن داخل المجموعة $ A $ هو اتحاد جميع المجموعات المفتوحة المحتواة فيها، وهو بذلك أكبر مجموعة مفتوحة تقع داخل $ A $.

وبما أن $ A \subseteq B $، فإن كل مجموعة مفتوحة محتواة في $ A $ تكون محتواة تلقائيًا في $ B $.

ومن ثم، فإن اتحاد هذه المجموعات المفتوحة، أي $ \text{Int}(A) $، يشكّل مجموعة مفتوحة محتواة في $ B $.

من ناحية أخرى، فإن داخل المجموعة $ B $، أي $ \text{Int}(B) $، هو أكبر مجموعة مفتوحة محتواة في $ B $.

وبالتالي، لا بد أن يكون $ \text{Int}(A) $ محتوى داخل $ \text{Int}(B) $.

نستنتج في النهاية أنه متى ما تحقق $ A \subseteq B $، فإن ذلك يستلزم تحقق $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $.

وتبيّن هذه النتيجة أن عملية أخذ الداخل تحافظ على علاقة الاحتواء بين المجموعات، وهي خاصية أساسية تُستخدم كثيرًا في دراسة الفضاءات الطوبولوجية.

وما إلى ذلك.