Bir Kümenin Sınırı ile İç Bölgesinin Birlikteliği
Topolojide temel sonuçlardan biri şudur: bir kümenin sınırı \( \partial A \) ile iç bölgesinin \( \text{Int}(A) \) birlikteliği, o kümenin kapanışını verir. $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Bu eşitlik, bir kümenin hangi noktaları “tam olarak kapsadığını” anlamak için son derece açıklayıcıdır. İç bölge kümenin tamamen içindeki noktaları, sınır ise kümenin kenarını temsil eder. Bu iki parça birlikte ele alındığında kapanış doğal olarak ortaya çıkar.
Bir Örnek
Standart topolojiyle donatılmış \(\mathbb{R}\) topolojik uzayında \(A = (0, 1)\) kümesini inceleyelim.
Bu kümenin iç bölgesi, tanım gereği açık aralık (0,1)’dir.
$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$
Kapanış ise, bu aralığa uç noktalar olan 0 ve 1’in eklenmesiyle elde edilen kapalı aralıktır.
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Dolayısıyla \(A\) kümesinin sınırı yalnızca bu iki uç noktadan oluşur.
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Şimdi iç bölge ile sınırı birlikte ele alalım:
$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$
Yani gerçekten de:
$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Bu örnek açıkça gösterir ki, kümenin içindeki tüm noktalar ile sınır noktaları bir araya geldiğinde, kapanış eksiksiz biçimde elde edilir.
İspatın Fikri
Bu sonucun neden genel olarak geçerli olduğunu anlamak için bazı temel kavramları hatırlamak yeterlidir.
- İç Bölge (\(\text{Int}(A)\))
İç bölge, çevresinde bütünüyle \(A\) içinde kalan bir açık küme bulunan noktalardan oluşur. Bu noktalar, kümenin tamamen “içinde” yer alır. - Kapanış (\(\text{Cl}(A)\))
Kapanış, \(A\)’ya ait tüm noktalarla birlikte sınır noktalarını da kapsar. Bu nedenle, \( \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \) olarak ifade edilir. - Sınır (\(\partial A\))
Sınır, hem \(A\)’ya hem de \(A\)’nın tümleyenine keyfi derecede yakın olan noktalardan oluşur. Biçimsel tanım, \( \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) \) şeklindedir.
Bu tanımlar birlikte değerlendirildiğinde, kapanışın iç bölge ile sınırın birlikteliği olarak yazılabildiği görülür:
$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$
Ayrıca iç bölge ile sınırın kesişimi boştur:
$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$
Bu nedenle, bir kümenin kapanışı her zaman iç bölgesi ile sınırının birlikteliği olarak ortaya çıkar. Bu argüman, özel örneklere bağlı değildir ve tüm topolojik uzaylar için genel olarak geçerlidir.
