Kapanış İşleminin Monotonluğu

Topolojide kapanış işleminin monotonluk özelliği şu şekilde ifade edilir: \( A \) ve \( B \) herhangi iki küme olsun (kapalı olmaları gerekmez). Eğer \( A \), \( B \)'nin bir alt kümesiyse, o hâlde \( A \)'nın kapanışı da \( B \)'nin kapanışının bir alt kümesidir: \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

Bu özellik, topolojinin temel kavramlarından biridir ve çoğu zaman sezgisel olarak anlaşılır. Kapanış işlemi, kümeler arasındaki kapsama ilişkisini doğal bir biçimde korur.

Bunu basit bir benzetmeyle düşünebiliriz: kapalı bir küçük kutu, daha büyük bir kutunun içine yerleştirilip büyük kutu da kapatıldığında, küçük kutu büyük kutunun içinde kapalı kalmaya devam eder.

Somut Bir Örnek

Şimdi bu özelliği, standart topolojiye sahip gerçek sayılar doğrusu \(\mathbb{R}\) üzerinde açık bir örnekle inceleyelim.

Bu topolojide açık kümeler, açık aralıklar olarak tanımlanır.

\(\mathbb{R}\) üzerinde aşağıdaki kümeleri ele alalım:

\[ A = (0, 1) \]

\[ B = [0, 2] \]

Bu iki küme arasında açık bir kapsama ilişkisi vardır. \( A \)'ya ait her nokta aynı zamanda \( B \)'nin de bir elemanıdır. Dolayısıyla

\[ A \subseteq B \]

\(A\) Kümesinin Kapanışı

\( A \) kümesi, \( (0, 1) \) açık aralığıdır.

Bir kümenin kapanışı, kümenin kendisini ve tüm yığılma noktalarını içerir.

Bu durumda \( A \)'nın yığılma noktaları yalnızca \( 0 \) ve \( 1 \)'dir. Çünkü bu iki noktanın her komşuluğu mutlaka \( A \)'dan noktalar içerir.

Dolayısıyla \( A \)'nın kapanışı

\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]

şeklinde elde edilir.

\(B\) Kümesinin Kapanışı

\( B \) kümesi, kapalı aralık olan \([0, 2]\)'dir.

\( B \) zaten kapalı bir küme olduğundan ve tüm yığılma noktalarını içerdiğinden, kapanışı kendisiyle aynıdır:

\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]

Sonuç

Elde ettiğimiz sonuçlara göre \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \) ve \( \text{Cl}(B) = [0, 2] \)'dir.

Buradan açıkça görülür ki

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

Gerçekten de \([0, 1]\) aralığı, \([0, 2]\) aralığının bir alt kümesidir. Bu örnek, kapanış işleminin monotonluk özelliğini somut ve anlaşılır bir biçimde ortaya koyar.

İspat

Şimdi bu özelliğin neden her zaman geçerli olduğunu görelim.

Başlangıç olarak \( A \) kümesinin \( B \)'nin bir alt kümesi olduğunu varsayalım:

\[ A \subseteq B \]

Göstermek istediğimiz sonuç, \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \) ilişkisidir.

\( A \subseteq B \) olduğundan, \( A \)'nın tüm elemanları aynı zamanda \( B \)'nin de elemanlarıdır.

Bir nokta \( x \in \text{Cl}(A) \) ise, tanım gereği \( x \)'in her komşuluğu \( A \)'dan en az bir nokta içerir. Eğer \( x \in A \) ise, bu nokta \( x \)'ten farklı olabilir.

\( A \subseteq B \) olduğuna göre, \( A \)'dan bir nokta içeren her komşuluk zorunlu olarak \( B \)'den de bir nokta içerir. Çünkü \( A \), tamamen \( B \)'nin içinde yer alır.

Öte yandan, bir kümenin kapanışı, o kümeyi içeren tüm kapalı kümelerin kesişimi olarak tanımlanır.

\( A \subseteq B \) olduğundan, \( B \)'yi içeren her kapalı küme aynı zamanda \( A \)'yı da içerir.

Bu nedenle, \( B \)'yi içeren tüm kapalı kümelerin kesişimi, \( A \)'nın tüm yığılma noktalarını da kapsar.

Sonuç olarak, \( A \)'nın her noktası ve her yığılma noktası \( B \)'nin kapanışı içinde yer alır. Bu da

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

sonucunu verir.

Özetle, bir küme başka bir kümenin alt kümesi olduğunda, bu ilişki kapanışlar arasında da korunur. Kapanış işleminin monotonluğu, doğrudan tanımdan ve kapsama ilişkisinden kaynaklanır.