Bir Kümenin Kapanışı: Kümenin Kendisi ve Yığılma Noktaları
Bir topolojik uzay \( X \) içinde tanımlı bir \( A \) kümesinin kapanışı, \( \text{Cl}(A) \) ile gösterilir ve kümenin kendisi ile yığılma noktalarının birleşiminden oluşur: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Bu ifade, topolojide kapanış kavramının özünü açık biçimde ortaya koyar. Bir kümenin kapanışı, o kümeye “yaklaşabilen” tüm noktaları kapsar.
Önemli bir nokta şudur: yığılma noktaları, her zaman kümenin elemanı olmak zorunda değildir. Buna rağmen, kapanışın doğal bir parçasıdırlar.
Buradan şu temel sonuca ulaşırız: Bir küme, ancak ve ancak tüm yığılma noktalarını içeriyorsa kapalıdır. $$ A \text{ kapalıdır } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Başka bir deyişle, bir küme kapanışıyla çakışıyorsa kapalıdır.
Somut Bir Örnek
Gerçek sayılar kümesi \( \mathbb{R} \) üzerinde, standart topoloji altında \( A = (0,1) \) kümesini ele alalım.
$$ A = (0,1) $$
Bu küme, 0 ile 1 arasındaki tüm gerçek sayıları içerir, ancak uç noktaları içermez.
Şimdi bu kümenin yığılma noktalarını inceleyelim:
- \( (0,1) \) aralığındaki her \( x \) noktası bir yığılma noktasıdır. Çünkü \( x \)’in her komşuluğu \((x-\varepsilon, x+\varepsilon)\), mutlaka \( A \)’ya ait başka noktalar içerir.
- 0 noktası da bir yığılma noktasıdır. Çünkü \( (0, 0+\varepsilon) \) biçimindeki her komşuluk, \( A \)’dan noktalar içerir.
- Aynı şekilde 1 noktası da bir yığılma noktasıdır. Çünkü \( (1-\varepsilon, 1) \) aralığı her zaman \( A \)’nın elemanlarını içerir.
Dolayısıyla \( A \) kümesinin yığılma noktaları şunlardır:
$$ A' = [0,1] $$
Kümenin kendisi \( A = (0,1) \) ile yığılma noktalarının birleşimi, kapanışı verir:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Bu durumda kapanış, kümenin kendisinden farklıdır. Dolayısıyla \( A \) kapalı bir küme değildir.
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Örnek 2
Şimdi \( \mathbb{R} \) üzerinde tanımlı \( B = [0,1] \) kümesini ele alalım.
$$ B = [0,1] $$
Bu küme, \( 0 \leq x \leq 1 \) koşulunu sağlayan tüm gerçek sayılardan oluşur.
Şimdi \( B \) kümesinin yığılma noktalarını inceleyelim.
Bir nokta \( x \), her komşuluğu içinde \( x \)’ten farklı en az bir \( B \) elemanı içeriyorsa, bir yığılma noktasıdır.
- Eğer \( x \in (0,1) \) ise, her komşulukta mutlaka \( x \)’ten farklı bir \( B \) elemanı bulunur.
- Eğer \( x = 0 \) veya \( x = 1 \) ise, bu noktaların her komşuluğu yine \( [0,1] \) aralığından noktalar içerir.
Bu nedenle:
$$ B' = [0, 1] \setminus \{0, 1\} = (0, 1) \cup \{0, 1\} = [0, 1] $$
Şimdi kapanışı hesaplayalım:
\( B \)’nin kapanışı, kendisi ile yığılma noktalarının birleşimidir:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0, 1] \cup [0, 1] = [0, 1] $$
Bu durumda \( B \) kümesi, kapanışıyla tam olarak çakışır. Dolayısıyla kapalıdır.
$$ B = \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
Bu örnek, bir kümenin kapalı olmasının, kapanışıyla birebir örtüşmesi anlamına geldiğini açıkça gösterir.
İspat
Şimdi, bir topolojik uzay \( X \) içinde bir kümenin kapanışının, o küme ile yığılma noktalarının birleşimi olduğunu gösterelim:
\( \text{Cl}(A) = A \cup A' \)
Önce temel tanımları hatırlayalım:
- Kapanış: \( \text{Cl}(A) \), \( A \)’yı içeren tüm kapalı kümelerin kesişimidir.
- Yığılma noktası: Bir \( x \in X \), her komşuluğu \( A \)’dan \( x \)’ten farklı en az bir nokta içeriyorsa, \( A \)’nın yığılma noktasıdır.
Amacımız aşağıdaki eşitliği kanıtlamaktır:
\( \text{Cl}(A) = A \cup A' \)
İspatı üç adımda ele alalım.
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Tanım gereği, \( \text{Cl}(A) \), \( A \)’yı içeren tüm kapalı kümelerin kesişimidir.
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Şimdi \( x \in A' \) olsun.
Yığılma noktası tanımına göre, \( x \)’in her komşuluğu \( A \)’dan en az bir nokta içerir.
Aksini varsayalım: \( x \notin \text{Cl}(A) \).
Bu durumda \( x \)’in, \( \text{Cl}(A) \) ile kesişmeyen bir komşuluğu vardır.
Oysa \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) olduğundan, bu komşuluk \( A \) ile de kesişemez.
Bu durum, \( x \)’in yığılma noktası olmasıyla çelişir.
Dolayısıyla varsayım yanlıştır ve:
\( x \in \text{Cl}(A) \)
sonucuna ulaşılır.
Böylece:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Zaten \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) olduğu için:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Şimdi \( x \in \text{Cl}(A) \) olsun.
Eğer \( x \notin A \) ise, her komşuluğu mutlaka \( A \) ile kesişir.
Aksi hâlde, yani \( x \)’in \( A \) ile kesişmeyen bir komşuluğu olsaydı, \( x \) kapanışta yer almazdı.
Dolayısıyla her komşuluğu \( A \)’dan bir nokta içerdiği için, \( x \) bir yığılma noktasıdır.
Bu da şu anlama gelir:
\[ x \in A' \]
Dolayısıyla:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]
3] Sonuç
Elde edilen iki kapsama ilişkisini birlikte değerlendirdiğimizde:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
Sonuç olarak:
\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]
Yani bir topolojik uzayda bir kümenin kapanışı, o kümenin kendisi ile yığılma noktalarının birleşiminden ibarettir.
Böylece ispat tamamlanmış olur.
