Topolojide Küme ile Sınırının Kesişimi
Bir kümenin sınırı \( \partial A \) ile kümenin kendisi \( A \) arasındaki kesişim, ancak ve ancak küme açık ise boştur: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ açıktır} $$
Başka bir ifadeyle, bir küme \( A \) açık olabilmesi için sınırına ait hiçbir nokta içermemelidir. Tersi de geçerlidir: sınır ile kümenin kesişimi boşsa, küme mutlaka açıktır.
Bu gözlem, açık kümelerin temel bir özelliğini vurgular: açık bir küme, sınırıyla hiçbir ortak noktaya sahip değildir.
Pratik Bir Örnek
Bu durumu somutlaştırmak için, gerçek sayılar doğrusu \(\mathbb{R}\) üzerinde, alışılmış topoloji altında açık aralık \((0, 1)\)'i ele alalım.
$$ A = (0, 1) $$
Bu küme, \(\mathbb{R}\)'nin standart topolojisine göre açık bir kümedir.
\( A \)'nın sınırı, tanım gereği, \( A \)'nın kapanışı ile tümleyeni olan kümenin kapanışının kesişimidir:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
\( A \)'nın kapanışı, uç noktaların da eklendiği kapalı aralık \([0, 1]\)'dir:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
\( A \)'nın tümleyeni olan \(\mathbb{R} - A\) kümesinin kapanışı ise şu şekildedir:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R}-A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Bu iki kapanışın kesişimini aldığımızda, \( A \)'nın sınırını elde ederiz:
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Artık sınırı bildiğimize göre, sınır ile kümenin kesişimini inceleyebiliriz.
\( A \) açık bir küme olduğundan, sınırdaki noktalar kümenin içinde yer almaz:
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Bu örnek, açık aralık \((0, 1)\)'in sınırının küme ile hiçbir ortak noktası olmadığını açıkça gösterir.
Örnek 2
Şimdi aynı uzayda kapalı aralık \( B = [0, 1] \)'i ele alalım.
$$ B = [0, 1] $$
\( B \) kapalı bir kümedir.
\( B \)'nin sınırı da benzer şekilde, \( B \)'nin kapanışı ile tümleyenin kapanışının kesişimi olarak tanımlanır:
$$ \partial B = \text{Cl}(B) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - B) $$
Kapalı bir küme olduğu için \( B \)'nin kapanışı yine kendisidir:
$$ \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
\( B \)'nin tümleyeninin kapanışı ise
$$ \text{Cl}(\mathbb{R}-B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Buradan sınır kümesi şu şekilde bulunur:
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
Bu kez, sınır noktaları kümenin kendisine de aittir. Dolayısıyla kesişim boş değildir:
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
Bu sonuç, kapalı aralık \([0, 1]\)'in açık bir küme olmadığını ve sınırının küme ile ortak noktalar içerdiğini net biçimde ortaya koyar.
İspat
Şimdi bu özelliğin neden doğru olduğunu, çift yönlü bir ispatla görelim.
(⇒) Eğer \( \partial A \cap A = \emptyset \) ise, \( A \) açıktır
Sınır ile kümenin kesişiminin boş olduğunu varsayalım:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Bu varsayım, \( A \)'nın hiçbir noktasının sınırda yer almadığını söyler.
Dolayısıyla, \( A \)'nın her noktası için tamamen \( A \) içinde kalan bir komşuluk bulunur.
Açık kümenin tanımı tam olarak budur: her noktası, küme içinde kalan bir komşuluğa sahiptir.
Bu nedenle \( A \) açık bir kümedir.
(⇐) Eğer \( A \) açıksa, \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Bu kez \( A \)'nın açık olduğunu varsayalım.
Açık olma tanımı gereği, \( A \)'nın her noktası \( A \) içinde kalan bir komşuluğa sahiptir.
Bu durum, hiçbir noktanın aynı anda hem \( A \)'ya hem de sınırına ait olamayacağı anlamına gelir. Çünkü böyle bir noktanın komşuluğu, \( X - A \) ile kesişmez.
Sonuç olarak,
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
elde edilir.
Sonuç
Bu ispatla, bir kümenin açık olmasının, sınırı ile kendisinin kesişiminin boş olmasıyla tam olarak eşdeğer olduğu gösterilmiş olur.
Aynı yaklaşım, topolojideki birçok benzer özellik için de kullanılabilir.
