Bir Kümenin Sınırı ile İç Bölgesinin Kesişimi
Bir kümenin sınırı \( \partial A \) ile iç bölgesi \( \text{Int}(A) \) arasındaki kesişim boştur: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Bu sonuç, topolojide sıkça kullanılan ve bir kümenin yapısını anlamada temel rol oynayan önemli bir özelliği ifade eder. Sınır ve iç bölge kavramları, bir kümenin “nerede bittiğini” ve “nerede başladığını” net biçimde ayırt etmemizi sağlar.
Sayısal Bir Örnek
Açık kümelerin açık aralıklardan oluştuğu standart topoloji ile donatılmış \(\mathbb{R}\) topolojik uzayını ele alalım.
\(A = (0, 1)\) kümesini, yani 0 ile 1 arasındaki açık aralığı seçelim.
\(A\) kümesinin iç bölgesi, bütünüyle \(A\) içinde kalan bir komşuluğa sahip olan noktaların kümesidir. Bu örnekte, aralığın içindeki her nokta bu özelliği taşır.
$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$
\(A\) kümesinin kapanışı ise, \(A\)’ya ait tüm noktalarla birlikte sınır noktaları olan 0 ve 1’i de kapsar.
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
\(A\) kümesinin \(\mathbb{R}\) içindeki tümleyeni şu şekilde yazılır:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Bu küme zaten kapalı olduğu için kapanışı kendisiyle aynıdır:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Bu bilgiler ışığında, \(A\) kümesinin sınırı yalnızca 0 ve 1 noktalarından oluşur.
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Artık sınır ile iç bölgeyi doğrudan karşılaştırabiliriz.
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Görüldüğü gibi, \(A\) kümesinin sınırı (\(\partial A = \{0, 1\}\)) ile iç bölgesi (\(\text{Int}(A) = (0, 1)\)) arasında ortak hiçbir nokta yoktur.
Bu basit ama açıklayıcı örnek, genel bir ilkeyi doğrular: bir kümenin sınırı ile iç bölgesi her zaman ayrıdır.
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
İspat
Bu sonucun neden her zaman geçerli olduğunu, topolojinin temel tanımlarına dayanarak gösterebiliriz.
Tanım gereği, bir \(A\) kümesinin sınırı şu şekilde tanımlanır:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
Bu tanım, sınır noktalarının hem \(A\)’ya hem de onun tümleyenine “yakın” olan noktalar olduğunu ifade eder.
Buna karşılık, \(A\) kümesinin iç bölgesi \( \text{Int}(A) \), çevresinde bütünüyle \(A\) içinde kalan bir açık küme bulunan noktalardan oluşur. Yani bu noktalar, kümenin tamamen “içinde” yer alır.
\(x \in \partial A\) olacak şekilde bir nokta alalım.
Tanım gereği, \(x\) şu iki özelliği aynı anda taşır:
- \(x \in \text{Cl}(A)\), yani \(A\)’ya keyfi derecede yakın noktalar vardır.
- \(x \in \text{Cl}(X - A)\), yani \(A\)’nın dışında da keyfi derecede yakın noktalar vardır.
Bu nedenle \(x\)’in her komşuluğu hem \(A\) ile hem de \(X - A\) ile kesişir. Dolayısıyla \(x\), tamamıyla \(A\) içinde kalan bir komşuluğa sahip olamaz ve bu yüzden \( \text{Int}(A) \) içinde yer almaz.
Şimdi \(y \in \text{Int}(A)\) olan bir nokta ele alalım.
Tanım gereği, \(y\)’nin çevresinde bütünüyle \(A\) içinde kalan bir açık küme vardır. Bu durum, \(y\)’nin \(X - A\) kümesine ait noktalarla temas etmediğini gösterir.
Dolayısıyla \(y\), \(\text{Cl}(X - A)\) içinde yer alamaz ve bu nedenle \(\partial A\)’ya da ait değildir.
Bu iki gözlem birlikte değerlendirildiğinde, \(\partial A\) ile \(\text{Int}(A)\) arasında ortak hiçbir nokta bulunmadığı açıkça görülür.
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Ve benzeri argümanlarla bu temel özellik farklı örnekler için de doğrulanabilir.
