Kapalı Bir Kümede Kapanışın İçerme Özelliği

Topolojik uzay $ X $ içinde $ C $ kapalı bir küme olsun. Eğer $ A $ kümesi $ C $’nin bir altkümesi ise, $ A $’nın kapanışı olan $ \operatorname{Cl}(A) $ da doğal olarak $ C $’nin bir altkümesidir. $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ kapalıdır } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Bu sonuç sezgiseldir. Çünkü $ A $’nın kapanışı, $ A $’yı içeren en küçük kapalı küme olarak tanımlanır. $ C $ zaten kapalıdır ve $ A $’yı içerir. Dolayısıyla, kapanışın $ C $’nin dışına taşması mümkün değildir.

Başka bir ifadeyle, $ \operatorname{Cl}(A) $ her zaman $ C $ kümesinin sınırları içinde kalır.

Somut Bir Örnek
İspat

Somut Bir Örnek

Standart topoloji ile donatılmış reel sayılar uzayı $ X = \mathbb{R} $’yi ele alalım.

Bu topolojide açık kümeler açık aralıklar biçimindedir.

Örneğin, $ C = [0, 2] $ kümesini seçelim. Bu küme, reel sayılar uzayında kapalıdır.

$$ C = [0,2] $$

Şimdi bu kapalı kümenin içinde yer alan bir açık küme alalım. Örneğin $ A = (0, 1) $.

$$ A = (0,1) $$

Şimdi $ A $ kümesinin kapanışını inceleyelim.

$ \operatorname{Cl}(A) $, $ \mathbb{R} $ içinde $ A $’yı içeren en küçük kapalı kümedir.

Bu nedenle açık aralık $ (0, 1) $’in kapanışı $ [0, 1] $’dir. Çünkü bu küme, $ (0, 1) $’in tüm noktalarını ve aynı zamanda yığılma noktaları olan 0 ve 1’i kapsar.

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$

Burada açıkça görüyoruz ki $ A $, kapalı bir küme olan $ C $’nin altkümesidir:

$$ A = (0, 1) \subseteq C = [0, 2] $$

Bu durumda, yukarıda ifade edilen özelliğe göre $ A $’nın kapanışı da $ C $’nin içinde yer almalıdır.

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Nitekim $ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $ ve açıkça $ [0, 1] \subseteq [0, 2] $ olduğu görülür.

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Sonuç olarak, $ (0, 1) \subseteq [0, 2] $ ve bu kümenin kapanışı olan $ \operatorname{Cl}((0, 1)) = [0, 1] $, gerçekten de $ [0, 2] $’nin bir altkümesidir.

Bu örnek, topolojik bir uzayda bir küme kapalı bir kümenin içinde yer alıyorsa, onun kapanışının da aynı kapalı küme içinde kaldığını açık ve somut biçimde göstermektedir.

İspat

Tanım gereği $ C $ kümesi, $ X $ içinde kapalıdır. Bu, tümleyeni olan $ X \setminus C $’nin açık bir küme olduğu anlamına gelir.

Varsayıma göre $ A \subseteq C $ olduğunu biliyoruz.

$ \operatorname{Cl}(A) $, $ X $ içinde $ A $’yı içeren en küçük kapalı kümedir.

Başka bir ifadeyle, $ \operatorname{Cl}(A) $, $ A $’yı içeren tüm kapalı kümelerin kesişimi olarak tanımlanır.

$ C $, kapalı olup $ A $’yı içerdiğine göre, bu kapalı kümeler ailesinin elemanlarından biridir.

Kapanış, bu ailenin tüm elemanlarının kesişimi olduğundan, bu kümelerden biri olan $ C $’nin içinde yer almak zorundadır.

Dolayısıyla $ A $’nın kapanışının kapalı küme $ C $’nin bir altkümesi olduğu sonucuna ulaşılır.

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Özetle, bir küme kapalı bir kümenin içinde yer alıyorsa, onun kapanışı da kaçınılmaz olarak aynı kapalı küme içinde kalır.