İç Küme ve Açık Kümeler Arasındaki İlişki
Bir topolojik uzay \( X \) içinde \( U \) açık bir küme olsun ve \( U \subseteq A \) koşulu sağlansın. Böyle bir durumda \( U \), tanım gereği \( A \) kümesinin içi olan \( \text{Int}(A) \) içinde yer alır. $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$
\(\text{Int}(A)\), \( A \) içinde bulunabilen en büyük açık kümedir. Başka bir ifadeyle, \( A \) kümesini içeriden dolduran tüm açık kümelerin birleşimi bu kümenin içini oluşturur.
Bu nedenle \( A \) içinde yer alan her açık küme, otomatik olarak \( \text{Int}(A) \) içinde de bulunur.
$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ , } X \text{ topolojisinde açıktır} \} $$
Dolayısıyla \( U \) da, \( A \) içinde bulunan açık kümelerden biri olduğu için bu birleşime dahildir.
Uygulamalı Bir Örnek
Standart topoloji altında \( \mathbb{R} \) uzayında örnek bir durum inceleyelim. Bu topolojide açık kümeler, açık aralıklar ile onların birleşimlerinden oluşur.
$$ U = (1, 2) $$
$$ A = [0, 3] $$
\( U = (1,2) \) aralığı açık bir aralıktır ve bu nedenle \( \mathbb{R} \) içinde açık bir küme kabul edilir.
Ayrıca \((1,2)\) aralığının tamamı \([0,3]\) aralığı içinde kaldığı için \( U \subseteq A \) bağıntısı geçerlidir.
\( A = [0,3] \) kümesinin içi, yani \(\text{Int}(A)\), bu küme içerisinde yer alabilen en büyük açık aralıktır.
Bu en büyük aralık \((0,3)\)’tür ve bu nedenle $$ \text{Int}(A) = (0,3) $$ şeklinde ifade edilir.
Dolayısıyla \( U = (1,2) \), açıkça \((0,3)\) aralığının içinde yer aldığından $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$ olduğu görülür.
Bu örnek, bir açık kümenin kendisini içine alan herhangi bir kümenin içinin de doğal bir parçası olduğunu açık bir şekilde gösterir.
İspat
\( X \) bir topolojik uzay ve \( U \) bu uzayda açık bir küme olsun. Ayrıca \( U \subseteq A \subseteq X \) varsayılsın.
Varsayımlar:
- \( U \) açık bir kümedir.
- \( U \subseteq A \).
İç küme olan \( \text{Int}(A) \), \( A \) içinde yer alabilen tüm açık kümelerin birleşimi olarak tanımlanır. Bu birleşim, \( A \) içinde elde edilebilecek en geniş açık kümeyi oluşturur.
\( U \) hem açık hem de \( A \) içinde bulunduğu için bu birleşimin doğal bir parçasıdır.
Bu nedenle $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$ bağıntısı zorunlu olarak ortaya çıkar.
Sonuç olarak, bir topolojik uzayda açık bir küme \( U \), herhangi bir \( A \subseteq X \) kümesinin içinde yer alıyorsa, her zaman o kümenin içinin de bir altkümesidir.
İspat bu şekilde tamamlanır.
