Sınırı Boş Olan Kümeler ve Açık ve Kapalı Kümeler (Clopen)
Bir \(A\) kümesinin sınırı \(\partial A\), ancak ve ancak \(A\) kümesi hem açık hem de kapalı ise boştur (clopen). $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ clopen’dır} $$
Bu sonuç, \(A\) kümesinin hiçbir sınır noktasına sahip olmadığı anlamına gelir. Sınır noktaları, hem \(A\)’nın kapanışına hem de \(A\)’nın tümleyeninin kapanışına ait olan, yani iki küme arasında “ayrım çizgisi” oluşturan noktalardır.
Pratik Bir Örnek
Örnek 1
Standart topoloji ile donatılmış \(\mathbb{R}\) uzayında \( A = \emptyset \) kümesini ele alalım.
Bu kümenin sınırının \(\partial A = \emptyset\) olup olmadığını adım adım inceleyelim.
Öncelikle \(A = \emptyset\) kümesinin kapanışını hesaplayalım:
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
\(A\)’nın tümleyeni \(A^c = \mathbb{R}\)’dir.
\(\mathbb{R}\) kümesi standart topolojide zaten kapalı olduğundan, tümleyenin kapanışı da:
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
Buna göre \(A\)’nın sınırı:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
Sonuç olarak sınır boştur (\(\partial A = \emptyset\)); dolayısıyla \(A\) clopen bir kümedir.
Nitekim boş küme, standart topolojide tanım gereği açıktır ve hiçbir yığılma noktası içermediği için aynı zamanda kapalıdır.
Örnek 2
Şimdi yine standart topolojiye sahip \(\mathbb{R}\) uzayında \( A = \mathbb{R} \) kümesini ele alalım.
Bu durumda da sınırın boş olup olmadığını inceleyelim.
\(A = \mathbb{R}\) kümesinin kapanışı:
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
Bu kümenin tümleyeni \(A^c = \emptyset\)’dir.
Tümleyenin kapanışı ise:
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Dolayısıyla sınır:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
Burada da sınır boştur (\(\partial A = \emptyset\)), yani \(A\) clopen bir kümedir.
Gerçekten de \(\mathbb{R}\), standart topolojide açık olduğu gibi bütün yığılma noktalarını içerdiğinden kapalıdır.
Örnek 3
Şimdi daha ilginç bir örnek olarak \(A = [0,1)\) kümesini ele alalım.
Bu kümenin sınırının boş olup olmadığını kontrol edelim.
Öncelikle kapanışı hesaplayalım:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
\(A\)’nın tümleyeni:
$$ A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty) $$
Tümleyenin kapanışı:
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Buna göre \(A\)’nın sınırı:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
Bu kez sınır boş değildir (\(\partial A = \{0,1\} \neq \emptyset\)); dolayısıyla \(A\) clopen değildir.
Nitekim \(A = [0,1)\) açık bir kümedir, ancak kapalı değildir.
Bu üç örnek, şu temel sonucu açıkça ortaya koyar: bir topolojik uzayda bir kümenin sınırı, ancak ve ancak küme hem açık hem de kapalı ise boştur.
İspat
Şimdi bu sonucun neden doğru olduğunu genel olarak gösterelim. Öncelikle sınır tanımını hatırlayalım.
Bir \(A\) kümesinin sınırı \(\partial A\), \(A\)’nın kapanışı ile tümleyeninin kapanışının kesişimi olarak tanımlanır:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Amacımız, sınırın boş olması ile \(A\)’nın hem açık hem de kapalı olması arasındaki eşdeğerliği iki yönde ispatlamaktır.
1] Sınır Boşsa, A Kümesi Hem Açık Hem Kapalıdır (Clopen)
\(\partial A = \emptyset\) olduğunu varsayalım. Bu varsayım:
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
eşitliğini ifade eder. Yani hiçbir nokta aynı anda hem \(A\)’nın kapanışında hem de tümleyeninin kapanışında yer almaz.
A kümesi kapalı mı?
Bir küme, tüm yığılma noktalarını içeriyorsa kapalıdır, başka bir ifadeyle kapanışı kendisine eşittir:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Yukarıdaki kesişim boş olduğundan, \(\text{Cl}(A)\)’daki hiçbir nokta \(\text{Cl}(A^c)\)’de bulunamaz. Bu da:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq (A^c)^c $$
sonucunu verir. \((A^c)^c = A\) olduğuna göre:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A $$
Öte yandan her zaman \(A \subseteq \text{Cl}(A)\) olduğundan, buradan:
$$ \text{Cl}(A) = A $$
elde edilir ve bu da \(A\)’nın kapalı olduğunu gösterir.
A kümesi açık mı?
Aynı varsayımdan hareketle:
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
sonucuna ulaşırız. Bu, \(A^c\)’nin kapalı olduğu anlamına gelir. Tümleyeni kapalı olan bir küme ise açıktır. Dolayısıyla \(A\) açıktır.
A Kümesi Hem Açık Hem Kapalıdır
Sonuç olarak \(A\) hem açık hem de kapalıdır, yani clopen bir kümedir.
2] A Kümesi Hem Açık Hem Kapalıysa (Clopen), Sınırı Boştur
Şimdi tersini varsayalım ve \(A\)’nın hem açık hem de kapalı olduğunu kabul edelim.
\(A\) kapalı olduğundan:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
\(A\) açık olduğundan, her noktası bir iç noktadır:
$$ A = \text{Int}(A) $$
\(A\) açık olduğuna göre, tümleyeni \(A^c\) kapalıdır ve dolayısıyla:
$$ A^c = \text{Cl}(A^c) $$
Sınır tanımını kullanırsak:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
yerine koyma yaparak:
$$ \partial A = A \cap A^c $$
elde ederiz. Bir küme ile tümleyeninin kesişimi her zaman boş olduğundan:
$$ \partial A = \emptyset $$
sonucuna ulaşırız.
3] Sonuç
Böylece şu temel eşdeğerliği kanıtlamış olduk:
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ clopen’dır} $$
Bu sonuç, topolojide sınır, açıklık ve kapalılık kavramları arasındaki derin ilişkiyi açık biçimde ortaya koyar.
