Bir Kümenin Tümleyeninin Kapanışı ile Kümenin İçinin Tümleyeni
Bir A kümesinin tümleyeninin kapanışı, A kümesinin içinin tümleyenine eşittir. $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Bu eşitlik, kapanış ve iç kavramlarının topolojik tümleyenler üzerinden nasıl birbirini tamamlayan bir yapı oluşturduğunu gösteren temel bir sonuçtur. Topolojiyle ilgilenen herkes için oldukça öğreticidir.
Uygulamalı Bir Örnek
Standart topolojiye sahip \( X = \mathbb{R} \) uzayını düşünelim. Bu uzayda açık kümeler, açık aralıklar ve onların birleşimlerinden oluşur.
İnceleyeceğimiz küme kapalı aralık \( A = [1, 2] \) olsun.
Eşitliğin gerçekten sağlandığını göstermek için iki adım uygulayacağız: önce A'nın tümleyeninin kapanışını, ardından A'nın içinin tümleyenini hesaplayacağız.
1] A Kümesinin Tümleyeninin Kapanışı
A'nın \( \mathbb{R} \) içindeki tümleyeni şöyle yazılır:
$$ X - A = \mathbb{R} - [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Bu kümenin kapanışını bulabilmek için ona tüm sınır noktalarını eklemek gerekir. Burada 1 ve 2, açık aralıkların uçları olduğundan doğal olarak birikim noktalarıdır. Her komşulukları mutlaka aralığın dışından noktalar içerir.
Dolayısıyla kapanış aşağıdaki gibi olur:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] A Kümesinin İçinin Tümleyeni
A'nın içi, tamamen A'nın içinde kalan açık aralıktır:
$$ \text{Int}(A) = (1, 2) $$
Bu iç kümenin tümleyeni ise:
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Sonuç
Her iki işlemin de tam olarak aynı kümeyi verdiğini görüyoruz:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Böylece \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\) eşitliği doğrulanmış olur. Bu, topolojide oldukça sık kullanılan ve farklı bağlamlarda da karşımıza çıkan bir ilişkidir.
İspat
Topolojik uzay X içinde \( A \subseteq X \) olsun.
A'nın tümleyeninin kapanışı, tümleyen kümedeki noktalar ile bu kümenin tüm birikim noktalarını içerir.
$$ \text{Cl}(X - A) $$
A'nın içinin tümleyeni ise A'nın iç kümesinde bulunmayan tüm noktalardan oluşur.
$$ X - \text{Int}(A) $$
Eşitliği göstermek için iki yönlü dahil olmayı kanıtlarız:
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
x ∈ Cl(X-A) ise x'in her komşuluğu X-A'dan bir nokta içerir. Bu, x'in A'nın iç noktası olamayacağını gösterir. Çünkü bir iç noktanın komşuluklarından en az biri tamamen A'nın içinde bulunur. Dolayısıyla x, X-Int(A) içinde yer alır. - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
x ∈ X-Int(A) ise x, A'nın iç noktası değildir. Bu, x'in her komşuluğunun A'da bulunmayan en az bir nokta içerdiği anlamına gelir. Bu nokta X-A'da yer aldığından x, tümleyenin kapanışına dahildir.
Bu iki dahil olma birlikte ele alındığında:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Sonuç olarak, kapanış ve iç işlemlerinin tümleyenler üzerinden nasıl bir simetri oluşturduğunu açık biçimde görmüş oluyoruz. Bu ilişki, topolojide daha ileri kavramları anlamak için de güçlü bir temel sağlar.
