Bir Kümenin Sınırı Her Zaman Kapalı Bir Kümedir
Bir kümenin sınırı her zaman kapalı bir kümedir. Bunun nedeni, sınırın \(A\) kümesinin kapanışı ile \(A\)’nın tümleyeni olan kümenin kapanışının kesişimi olarak tanımlanmasıdır: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Topolojide sıkça karşılaşılan ve temel kabul edilen sonuçlardan biri şudur: bir kümenin sınırı her zaman kapalıdır. Bu sonuç, sınır kavramının tanımından doğrudan elde edilir ve herhangi bir ek varsayım gerektirmez.
Bir topolojik uzay \(X\) içinde yer alan bir \(A\) kümesinin sınırı \(\partial A\) ile gösterilir. Tanım gereği bu sınır, \(A\)’nın kapanışı ile tümleyeni olan \(X - A\)’nın kapanışının kesişimidir. Yani
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Topolojinin temel kurallarına göre kapalı kümelerin kesişimi yine kapalı bir kümedir. Dolayısıyla bu tanım, sınır kümesinin neden her zaman kapalı olduğunu açıkça ortaya koyar.
Somut Bir Örnek
Bu durumu daha iyi görmek için standart topolojiye sahip reel sayılar kümesini \(\mathbb{R}\) ele alalım. Bu topolojide açık kümeler, açık aralıklar şeklinde tanımlanır.
Örnek olarak \(A = (0, 1)\) kümesini, yani 0 ile 1 arasındaki açık aralığı seçelim.
Bu kümenin kapanışı \(Cl(A)\) ile gösterilir ve bu örnekte
$$ Cl(A) = [0, 1] $$
şeklindedir. Yani kapanış, açık aralığın kendisini ve onun yığılma noktaları olan 0 ile 1’i içerir.
\(\mathbb{R}\) uzayında \(A\)’nın tümleyeni ise
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
kümesidir. Bu küme zaten kapalı olduğundan, kapanışı değişmez:
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Şimdi sınır kümesini hesaplayalım:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = \{0, 1\} $$
Sonuç olarak bu örnekte \(A\) kümesinin sınırı \(\{0, 1\}\) kümesidir ve bu küme \(\mathbb{R}\) içinde kapalı bir kümedir.
İspatın Temel Fikri
Bu sonucun ispatı, topolojide kapalı kümelere ilişkin birkaç temel özelliğe dayanır.
Herhangi bir topolojik uzayda bir kümenin kapanışı, tanım gereği kapalı bir kümedir ve o kümeyi içeren en küçük kapalı küme olarak tanımlanır.
Bir kümenin tümleyeni ile açık ve kapalı olma özellikleri arasında güçlü bir ilişki vardır. Bir küme kapalıysa tümleyeni açıktır, bir küme açıksa tümleyeni kapalıdır.
Sınır kavramı ise bu iki kapanışın kesişimi üzerinden tanımlanır:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Topolojide bilinen temel bir kural, kapalı kümelerin kesişiminin her zaman kapalı olduğudur. Bu kuralı doğrudan uyguladığımızda şu sonuçları elde ederiz:
- \(Cl(A)\) kapalı bir kümedir.
- \(Cl(X - A)\) kapalı bir kümedir.
- Bu iki kapalı kümenin kesişimi de kapalıdır.
Dolayısıyla sınır kümesi \(\partial A\), tanımından ve bu temel özelliklerden dolayı, her topolojik uzayda mutlaka kapalı bir kümedir.
Bu yaklaşım, sınır kavramının neden topolojide bu kadar merkezi bir rol oynadığını da açıkça göstermektedir.
