Bir Kümenin Sınırı: Kapanışların Kesişimi

\( A \), bir topolojik uzay \( X \) içinde bir altküme olsun. \( A \) kümesinin sınırı \( \partial A \), hem \( A \)’nın kapanışında hem de \( A \)’nın tümleyeninin kapanışında yer alan noktaların oluşturduğu küme olarak tanımlanır.  $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Bu tanım, sınır kavramının özünü açıkça ortaya koyar. Bir kümenin sınırı, kümenin kendisi ile dışı arasındaki geçiş bölgesini temsil eder.

\(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\) ifadesi, aynı anda hem \( A \)’ya yaklaşılabilen hem de \( A \)’nın dışına yaklaşılabilen noktaları seçer.

Bu nedenle bu noktalar, \( A \) ile tümleyeni arasındaki ayrım çizgisini oluşturur ve sınır olarak adlandırılır. 

Somut Bir Örnek

Örneği somutlaştırmak için, \( A \) kümesini gerçek sayılar doğrusu \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlı açık aralık \( (0, 1) \) olarak alalım.

Bu aralığın kapanışı, 0 ile 1 arasındaki tüm noktaları, uç noktalar da dahil olmak üzere içerir:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Aynı aralığın tümleyeni, \( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \) kümesidir ve bu küme zaten kapalıdır. Dolayısıyla kapanışı kendisine eşittir:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Bu iki kümenin kesişimini aldığımızda, sınır noktalarını elde ederiz:

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Sonuç olarak, \( (0, 1) \) aralığının sınırı \(\{0, 1\}\) kümesidir. Bu noktalar, aralık ile gerçek doğrunun geri kalanı arasındaki tam temas noktalarıdır.

İspat

Tanım gereği, \( A \subseteq X \) kümesinin sınırı \(\partial A\), \( X \) içindeki şu yapıya sahip noktaların kümesidir: bu noktaların her komşuluğu hem \( A \)’dan hem de \( X \setminus A \)’dan en az bir nokta içerir.

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x), U \cap A \neq \emptyset \text{ ve } U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

Burada \(\mathcal{N}(x)\), \(x\) noktasının tüm komşuluklarını ifade eder.

İspatı adım adım inceleyelim.

1] \(\partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\)

\(x \in \partial A\) olsun. Tanım gereği, \(x\)’in her komşuluğu hem \(A\) ile hem de \(X \setminus A\) ile kesişir.

Bu durum, \(x\)’in hem \(A\)’nın kapanışında hem de \(X \setminus A\)’nın kapanışında yer aldığını gösterir. Dolayısıyla:

$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

2] \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A\)

Şimdi \(x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\) olsun.

Bu durumda, \(x\)’in her komşuluğu hem \(A\) ile hem de \(X \setminus A\) ile kesişir. Bu da doğrudan \(x \in \partial A\) anlamına gelir.

Dolayısıyla:

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$

3] Sonuç

Her iki adım birlikte ele alındığında şu eşitlik elde edilir:

• $ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $
• $ \partial A \supseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $

Sonuç olarak, bir kümenin sınırı, o kümenin kapanışı ile tümleyeninin kapanışının kesişimine tam olarak eşittir:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Bu eşitlik, sınır kavramının topolojideki temel karakterini özetler.