خاصية الرتابة لعملية الإغلاق

تنص خاصية الرتابة لعملية الإغلاق على أنه إذا كانت \( A \) و \( B \) مجموعتين كيفيتين كانتا، وليس من الضروري أن تكونا مغلقتين، وكان \( A \) مجموعة جزئية من \( B \)، فإن إغلاق \( A \) يكون بدوره مجموعة جزئية من إغلاق \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

تُعد هذه الخاصية من أبسط الخصائص في الطوبولوجيا وأكثرها طبيعية، إذ تنسجم مباشرة مع الحدس الرياضي.

ولتقريب الفكرة، يمكن تخيل الأمر على النحو الآتي: إذا أغلقت صندوقًا صغيرًا ثم وضعته داخل صندوق أكبر وأغلقت الصندوق الأكبر، فإن الصندوق الصغير يظل مغلقًا داخل الإطار الأوسع دون أي مفارقة.

مثال تطبيقي

لنأخذ مثالًا مألوفًا من الطوبولوجيا، وهو المستقيم الحقيقي \(\mathbb{R}\) المجهز بالطوبولوجيا القياسية.

في هذا الفضاء، تكون المجموعات المفتوحة هي الفواصل المفتوحة.

نعتبر المجموعتين التاليتين في \(\mathbb{R}\):

\[ A = (0, 1) \]

\[ B = [0, 2] \]

من الواضح أن \( A \subseteq B \)، لأن كل عنصر ينتمي إلى \( A \) ينتمي أيضًا إلى \( B \).

إغلاق المجموعة \(A\)

المجموعة \( A \) هي الفاصل المفتوح \( (0, 1) \).

إغلاق مجموعة ما هو اتحادها مع جميع نقاط تراكمها.

في هذه الحالة، نقطتا التراكم الوحيدتان لـ \( A \) هما \( 0 \) و \( 1 \)، إذ إن كل جوار لهاتين النقطتين يحتوي على عناصر من \( A \).

ومن ثم نحصل على:

\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]

إغلاق المجموعة \(B\)

أما المجموعة \( B \) فهي الفاصل المغلق \([0, 2]\).

وبما أن \( B \) مغلقة أصلًا وتحتوي على جميع نقاط تراكمها، فإن إغلاقها لا يضيف عناصر جديدة.

وعليه:

\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]

النتيجة

نلاحظ أن \([0, 1]\) محتواة بالكامل داخل \([0, 2]\)، وبالتالي:

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

وهذا يؤكد بصورة مباشرة خاصية الرتابة لعملية الإغلاق في هذا المثال.

فكرة البرهان

نفترض أن \( A \subseteq B \)، ونريد أن نُبيّن أن هذا الاحتواء ينتقل إلى الإغلاق.

إذا كانت النقطة \( x \) تنتمي إلى \( \text{Cl}(A) \)، فإن كل جوار لها يحتوي على نقطة من \( A \).

وبما أن \( A \) محتواة داخل \( B \)، فإن هذا الجوار نفسه يحتوي أيضًا على نقطة من \( B \)، مما يعني أن \( x \) تنتمي إلى \( \text{Cl}(B) \).

وبصيغة مكافئة، يمكن النظر إلى الإغلاق على أنه تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي على المجموعة المعطاة. وحيث إن كل مجموعة مغلقة تحتوي على \( B \) تحتوي بالضرورة على \( A \)، فإن تقاطع هذه المجموعات لا بد أن يحتوي إغلاق \( A \).

وعليه نستنتج أن:

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

وهكذا تظهر خاصية الرتابة كنتيجة مباشرة لتعريف الإغلاق وعلاقة الاحتواء بين المجموعات، دون الحاجة إلى افتراضات إضافية.