التوصيف التعريفي للمجموعات المغلقة
تكون المجموعة \( A \) مغلقة إذا وفقط إذا كان إغلاق المجموعة \( A \) مساويًا لها في الفضاء الطوبولوجي. ويُعبَّر عن ذلك بالعلاقة: $$ A = \text{Cl}(A) $$
مثال تطبيقي
لنأخذ الفضاء الطوبولوجي \( \mathbb{R} \) مع الطوبولوجيا القياسية، ولتكن المجموعة \( A = [0, 1] \).
تُوصَف المجموعة بأنها مغلقة عندما تحتوي جميع نقاطها الحدّية. في حالة المجموعة \( A = [0, 1] \)، فإن نقاط الحد هي كل النقاط الواقعة بين \( 0 \) و\( 1 \)، مع شمول طرفي الفترة.
وبما أن المجموعة \( A \) تضم هذه النقاط جميعها، فهي بالفعل مجموعة مغلقة.
لننظر الآن في شرط الإغلاق.
إغلاق المجموعة \( A \) في الطوبولوجيا القياسية هو المجموعة نفسها، أي \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \)، وذلك لأن الفترة تحتوي كل نقاطها الحدّية.
$$ A = \text{Cl}(A) $$
يوضح هذا المثال أن المجموعة \( A = [0, 1] \) مغلقة لأنها تتطابق تمامًا مع إغلاقها.
كما يبرز بوضوح أن المجموعة \( A \) تكون مغلقة إذا وفقط إذا تحقق الشرط \( A = \text{Cl}(A) \).
البرهان
نستعرض أولًا المفاهيم الأساسية:
- تعريف الإغلاق: إغلاق المجموعة \( A \)، ويرمز له بـ \( \text{Cl}(A) \)، هو مجموعة عناصر \( A \) مضافًا إليها جميع نقاطها الحدّية. وبصيغة دقيقة: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{ كل جوار للنقطة } x \text{ يحتوي نقطة من } A \} \]
- المجموعة المغلقة: تُعرَّف المجموعة \( A \) بأنها مغلقة إذا كانت تحتوي جميع نقاطها الحدّية. ومن هنا نحصل على التكافؤ \( A \) مغلقة إذا وفقط إذا كان \( A = \text{Cl}(A) \).
نبرهن هذا التكافؤ في الاتجاهين:
1] إذا كانت \( A \) مغلقة، فإن \( A = \text{Cl}(A) \):
بما أن \( A \) مغلقة، فهي تحتوي جميع نقاطها الحدّية.
وبالتالي لا توجد نقاط حدّية للمجموعة \( A \) تقع خارجها.
وحيث إن إغلاق \( A \) يتكوّن من اتحاد \( A \) مع نقاطها الحدّية، نحصل على:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{نقاط الحد للمجموعة } A \} = A $$
ومن ثم يتحقق \( A = \text{Cl}(A) \).
2] إذا كان \( A = \text{Cl}(A) \)، فإن \( A \) مغلقة:
إذا تساوت المجموعة \( A \) مع إغلاقها، فهذا يعني أنها تحتوي جميع نقاطها الحدّية، لأن الإغلاق يضم عناصر المجموعة ونقاطها الحدّية معًا.
وعليه، ووفقًا للتعريف، تكون \( A \) مجموعة مغلقة.
