العلاقة بين داخل المجموعة وإغلاقها بواسطة المتممة

في الطوبولوجيا، توجد علاقة أساسية وبسيطة في صياغتها، لكنها عميقة في معناها، تربط بين مفهومي الداخل والإغلاق. تنص هذه العلاقة على أن داخل متممة مجموعة \( A \) يساوي تمامًا متممة إغلاق تلك المجموعة. ويعبر عنها رياضيًا بالصيغة التالية: $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$

مثال مبسط على المستقيم الحقيقي

لفهم هذه العلاقة بصورة أوضح، نبدأ بمثال مألوف. نأخذ المستقيم الحقيقي \(\mathbb{R}\) مزودًا بالطوبولوجيا القياسية، حيث تكون المجموعات المفتوحة هي الفترات المفتوحة.

لتكن المجموعة:

$$ A = [0, 1] $$

وهي فترة مغلقة على المستقيم الحقيقي.

متممة هذه المجموعة في \(\mathbb{R}\) هي جميع الأعداد الحقيقية التي تقع خارج الفترة المغلقة \([0, 1]\)، أي:

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$

نلاحظ أن هذه المجموعة تتكون من اتحاد فترتين مفتوحتين. لذلك فهي مجموعة مفتوحة أصلًا، مما يعني أن داخلها يساوي المجموعة نفسها:

$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$

ننتقل الآن إلى إغلاق المجموعة \( A \). بما أن \( A \) فترة مغلقة، فإن إغلاقها لا يضيف عناصر جديدة، ومن ثم:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

وعند أخذ متممة هذا الإغلاق في \(\mathbb{R}\) نحصل على:

$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$

بمقارنة النتيجتين نلاحظ أنهما متطابقتان تمامًا، وهو ما يؤكد تحقق العلاقة في هذا المثال البسيط.

لماذا تتحقق هذه العلاقة دائمًا؟

هذه النتيجة ليست خاصة بالمستقيم الحقيقي فقط، بل تصح في أي فضاء طوبولوجي. لفهم السبب، نعود إلى التعاريف الأساسية.

• داخل مجموعة: هو أكبر مجموعة مفتوحة محتواة فيها، أو بعبارة أخرى مجموعة جميع نقاطها الداخلية.
• إغلاق مجموعة: هو أصغر مجموعة مغلقة تحتويها، ويشمل عناصرها الأصلية وجميع نقاط تراكمها.

فكرة البرهان

لنفترض أن \( A \) مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي \( X \). لإثبات:

$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$

نقوم بإثبات احتواءين متعاكسين.

الاحتواء الأول

إذا كانت نقطة \( x \) تنتمي إلى داخل \( X - A \)، فهذا يعني وجود جوار مفتوح حولها لا يتقاطع مع \( A \). وبالتالي لا يمكن أن تكون هذه النقطة نقطة تراكم للمجموعة \( A \)، ومن ثم لا تنتمي إلى إغلاقها. أي أن:

$$ x \in \text{Int}(X - A) \Rightarrow x \in X - \text{Cl}(A) $$

الاحتواء الثاني

بالعكس، إذا كانت نقطة \( x \) لا تنتمي إلى إغلاق \( A \)، فهذا يعني وجود جوار مفتوح حولها لا يقطع المجموعة \( A \). وهذا الجوار يكون محتوى في \( X - A \)، مما يجعل \( x \) نقطة داخلية لمتممة \( A \). أي:

$$ x \in X - \text{Cl}(A) \Rightarrow x \in \text{Int}(X - A) $$

الخلاصة

بما أن كل طرف من طرفي العلاقة يحتوي الآخر، نستنتج المساواة التالية:

$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$

تعكس هذه العلاقة انسجامًا عميقًا بين مفهومي الداخل والإغلاق في الطوبولوجيا، وتبرز الدور المحوري لعملية المتممة في الربط بينهما. وهي من النتائج الأساسية التي تظهر بوضوح البنية المزدوجة للمفاهيم الطوبولوجية.