إغلاق مجموعة جزئية من مجموعة مغلقة

إذا كانت $ C $ مجموعة مغلقة في الفضاء الطوبولوجي $ X $، وكانت $ A $ مجموعة جزئية من $ C $، فإن إغلاق $ A $، ويرمز له بـ $ \text{Cl}(A) $، يكون بدوره مجموعة جزئية من $ C $. $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ مجموعة مغلقة } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

تعبر هذه الخاصية عن فكرة بسيطة ومهمة في آن واحد. فإغلاق $ A $ هو أصغر مجموعة مغلقة يمكن أن تحتويها، وإذا كانت $ A $ موجودة أصلًا داخل مجموعة مغلقة أكبر هي $ C $، فلا يمكن لإغلاقها أن يتجاوز حدود تلك المجموعة.

مثال توضيحي
فكرة البرهان

مثال توضيحي

لنأخذ الفضاء الطوبولوجي $ X = \mathbb{R} $، أي مجموعة الأعداد الحقيقية مع الطوبولوجيا القياسية.

في هذا السياق، تكون المجموعات المفتوحة عبارة عن فواصل مفتوحة، بينما الفواصل المغلقة تمثل أمثلة على المجموعات المغلقة.

نعتبر المجموعة المغلقة التالية:

$$ C = [0,2] $$

ثم نختار مجموعة جزئية منها، مثل الفاصل المفتوح:

$$ A = (0,1) $$

من الواضح أن $ A \subseteq C $. لننظر الآن إلى إغلاق $ A $.

بحسب التعريف، إغلاق $ A $ هو أصغر مجموعة مغلقة تحتوي جميع نقاط $ A $. في هذه الحالة نحصل على:

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

وذلك لأن النقطتين 0 و 1 تمثلان نقطتي تراكم للفاصل المفتوح $(0,1)$.

نلاحظ مباشرة أن:

$$ [0,1] \subseteq [0,2] $$

أي أن إغلاق $ A $ يبقى محتوى داخل المجموعة المغلقة $ C $، تمامًا كما تنص الخاصية.

يوضح هذا المثال بصورة ملموسة أن إغلاق مجموعة جزئية لا يخرج عن حدود المجموعة المغلقة التي تحتويها.

فكرة البرهان

يعتمد البرهان على تعريف الإغلاق ذاته. فإغلاق $ A $ يُعرَّف على أنه تقاطع جميع المجموعات المغلقة في $ X $ التي تحتوي $ A $.

وبما أن $ C $ مجموعة مغلقة وتحتوي $ A $، فهي واحدة من هذه المجموعات.

وعند أخذ تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي $ A $، لا يمكن أن تكون النتيجة أكبر من أي واحدة منها، وبالأخص لا يمكن أن تتجاوز $ C $.

ومن هنا نحصل مباشرة على النتيجة:

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

وبصيغة أبسط، إذا كانت $ A $ داخل مجموعة مغلقة، فإن أصغر مجموعة مغلقة تحتويها، أي إغلاقها، تبقى هي الأخرى داخل تلك المجموعة.