اندراج المجموعات المفتوحة في داخلية مجموعة

إذا كانت $ U $ مجموعة مفتوحة في فضاء طوبولوجي $ X $ وكانت $ U \subseteq A $، فإن $ U $ تندرج ضمن داخلية المجموعة $ A $. $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

تُعرَّف داخلية المجموعة $ A $، ويرمز لها بـ $\text{Int}(A)$، على أنها أكبر مجموعة مفتوحة تقع كليًا داخل $ A $.

وبهذه الصيغة التعريفية يتضح المعنى مباشرة، فكل مجموعة مفتوحة $ U $ تكون محتواة في $ A $ لا بد أن تكون جزءًا من داخلية هذه المجموعة.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ مجموعة مفتوحة في } X \} $$

وبما أن $ U $ مجموعة مفتوحة ومحتواة في $ A $، فإنها تنتمي بالضرورة إلى هذا الاتحاد، أي إلى داخلية $ A $.

مثال تطبيقي
البرهان

مثال تطبيقي

لنفترض وجود مجموعتين $ U $ و$ A $ في الفضاء الطوبولوجي $ \mathbb{R} $، أي مجموعة الأعداد الحقيقية، مع الطوبولوجيا القياسية، حيث تكون المجموعات المفتوحة عبارة عن فترات مفتوحة واتحاداتها.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

المجموعة $ U = (1, 2) $ هي مجموعة مفتوحة لأنها فترة مفتوحة في $ \mathbb{R} $، ومن ثم فهي مفتوحة في الطوبولوجيا القياسية.

كذلك نلاحظ أن $ U $ محتواة في $ A $، إذ إن كل نقطة من الفترة $(1, 2)$ تنتمي أيضًا إلى الفترة المغلقة $[0, 3]$، أي أن $ U \subseteq A $.

أما داخلية المجموعة $ A = [0, 3] $، والتي نرمز لها بـ $\text{Int}(A)$، فهي أكبر مجموعة مفتوحة محتواة فيها.

في هذه الحالة، تكون داخلية $ A $ هي الفترة المفتوحة $(0, 3)$، لأنها أوسع فترة مفتوحة يمكن احتواؤها داخل $[0, 3]$.

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

وبما أن $ U = (1, 2) $ تقع بالكامل داخل $(0, 3)$، يتبين بوضوح أن $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

يوضح هذا المثال بصورة ملموسة أن تحقق شرطين بسيطين، وهما كون $ U $ مجموعة مفتوحة وكونها محتواة في $ A $، يؤدي مباشرة إلى النتيجة المطلوبة.

البرهان

ليكن $ X $ فضاءً طوبولوجيًا، ولتكن $ U $ مجموعة مفتوحة في $ X $، ولتكن $ A \subseteq X $ بحيث $ U \subseteq A $.

بما أن $ U $ مجموعة مفتوحة ومحتواة في $ A $، فهي تمثل واحدة من المجموعات المفتوحة التي يُبنى منها تعريف داخلية $ A $.

وحيث إن داخلية $ A $ تُعرَّف على أنها اتحاد جميع المجموعات المفتوحة المحتواة فيها، فإن وجود $ U $ ضمن هذا الاتحاد يعني مباشرة أن $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

وعليه، نستنتج أن كل مجموعة مفتوحة $ U $ محتواة في $ A $ تندرج بالضرورة ضمن داخلية $ A $.

وبذلك تكتمل الفكرة الأساسية بصورة واضحة وبسيطة.