تكافؤ انفتاح المجموعة مع مساواتها لداخلها

تُوصَف المجموعة $ A $ في فضاء طوبولوجي $ X $ بأنها مجموعة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مساوية لداخلها. $$ A = \text{Int}(A) $$

بصيغة أبسط، تكون $ A $ مفتوحة عندما تمتلك كل نقطة تنتمي إليها جوارًا مفتوحًا يقع بالكامل داخل $ A $.

وعليه، فإن شرط الانفتاح لا يضيف شيئًا خارج هذا الوصف: فالمجموعة المفتوحة هي بالضبط تلك التي تتطابق مع داخلها، أي $ A = \text{Int}(A) $.

يُعرَّف داخل المجموعة Int(A) بأنه أكبر مجموعة مفتوحة محتواة في $ A $، ويمكن النظر إليه على أنه اتحاد جميع المجموعات المفتوحة الجزئية للمجموعة $ A $.

مثال تطبيقي

لننظر إلى الفضاء الطوبولوجي $ \mathbb{R} $ المزوّد بالطوبولوجيا القياسية، حيث تُعدّ المجالات المفتوحة أمثلة أساسية على المجموعات المفتوحة.

نستعرض فيما يلي مثالين بسيطين يوضّحان كيفية استخدام العلاقة $ A = \text{Int}(A) $ للتحقق من انفتاح مجموعة ما.

المثال 1

لنعتبر المجال المفتوح $ A = (0, 1) $.

$$ A = (0, 1) $$

داخل هذه المجموعة هو المجال نفسه.

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

بما أن $ A $ تتطابق مع داخلها، نستنتج مباشرة أن $ A $ مجموعة مفتوحة.

المثال 2

لنعتبر المجال المغلق $ B = [0,1] $.

$$ B = [0, 1] $$

داخل هذه المجموعة هو المجال المفتوح الواقع بين 0 و1 دون الطرفين.

$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$

هنا لا تتحقق المساواة بين $ B $ وداخلها، ولذلك فإن $ B $ ليست مجموعة مفتوحة.

ملاحظة: تُظهر هذه الأمثلة كيف يوفّر مفهوم داخل المجموعة معيارًا عمليًا وبسيطًا للتمييز بين المجموعات المفتوحة وغير المفتوحة.

نقدّم الآن برهان التكافؤ بين انفتاح المجموعة $ A $ ومساواتها لداخلها $ \text{Int}(A) $.

نفترض أن $ A $ مجموعة مفتوحة.

بحسب التعريف، يتكوّن داخل المجموعة $\text{Int}(A)$ من جميع النقاط في $ A $ التي تمتلك جوارًا مفتوحًا محتوىً داخل $ A $.

وبما أن $ A $ مفتوحة، فإن كل نقطة $ x \in A $ لها بالفعل جوار مفتوح $ U \subseteq A $.

ومن ثم تنتمي كل نقطة من $ A $ إلى داخلها، أي

$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$

وفي المقابل، فإن $\text{Int}(A)$ لا يمكن أن يخرج عن $ A $ لأنه اتحاد مجموعات مفتوحة محتواة فيها، ومن ثم

$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$

ويؤدّي الاحتواء المتبادل إلى النتيجة

$$ A = \text{Int}(A) $$

نفترض الآن أن $ A = \text{Int}(A) $.

لنأخذ نقطة عشوائية $ x \in A $.

بما أن $ x $ تنتمي إلى الداخل، فإن تعريف $\text{Int}(A)$ يضمن وجود جوار مفتوح $ U \subseteq A $ يحتوي النقطة $ x $.

وهذا الشرط يتحقق لكل نقطة في $ A $، وهو بالضبط تعريف المجموعة المفتوحة.

وعليه، فإن $ A $ مجموعة مفتوحة.

نستنتج أن المجموعة $ A $ في أي فضاء طوبولوجي $ X $ تكون مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مساوية لداخلها، أي إذا تحقق الشرط $ A = \text{Int}(A) $.

وهذا التكافؤ يقدّم توصيفًا واضحًا ومفيدًا لمفهوم الانفتاح في الطوبولوجيا.