إغلاق متممة مجموعة ومتممة داخلها

ينص أحد المبادئ الأساسية في الطوبولوجيا على أن إغلاق متممة مجموعة \( A \) يساوي متممة داخلية المجموعة نفسها، أي:

$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$

تعبّر هذه العلاقة عن ترابط عميق بين مفهومي الإغلاق والداخل، وتُعد من النتائج الأساسية التي تساعد على فهم البنية الداخلية للمجموعات في الفضاءات الطوبولوجية.

مثال توضيحي

لنأخذ الفضاء الطوبولوجي \( X = \mathbb{R} \) المزود بالطوبولوجيا المعتادة، حيث تكون المجموعات المفتوحة عبارة عن فترات مفتوحة واتحاداتها.

ولتكن المجموعة:

$$ A = [1, 2] $$

سوف نتحقق من العلاقة السابقة عبر خطوتين واضحتين: أولًا نحسب إغلاق متممة المجموعة \( A \)، ثم نحسب متممة داخلية \( A \).

1] إغلاق متممة A

متممة المجموعة \( A \) في \( \mathbb{R} \) هي:

$$ X - A = \mathbb{R} - [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$

لحساب الإغلاق، نضيف إلى هذه المجموعة جميع نقاط التراكم التابعة لها.

في هذه الحالة، تتكوّن متممة \( A \) من اتحاد مجموعتين مفتوحتين، والنقطتان 1 و2 تمثلان نقطتي تراكم، لأن كل جوار للنقطة 1 يحتوي على عناصر من \( (-\infty, 1) \)، وكل جوار للنقطة 2 يحتوي على عناصر من \( (2, \infty) \).

وعليه نحصل على:

$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

2] متممة داخلية A

داخلية المجموعة \( A = [1, 2] \) هي الفترة المفتوحة الواقعة بالكامل داخلها:

$$ \text{Int}(A) = (1, 2) $$

ومن ثم تكون متممة داخلية \( A \) هي:

$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

3] النتيجة

نلاحظ أن كلا التعبيرين يؤديان إلى المجموعة نفسها:

$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

وبالتالي تتحقق العلاقة:

$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$

البرهان

لتكن \( A \subseteq X \) مجموعة ضمن فضاء طوبولوجي.

إغلاق متممة \( A \) هو مجموعة جميع النقاط التي تنتمي إلى متممة \( A \) أو تُعد نقاط تراكم لها:

$$ \text{Cl}(X - A) $$

أما متممة داخلية \( A \) فهي مجموعة جميع النقاط التي لا تنتمي إلى داخلية \( A \):

$$ X - \text{Int}(A) $$

لإثبات العلاقة المطلوبة، نبرهن الاحتواءين التاليين:

1. \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
   إذا كانت نقطة \( x \) تنتمي إلى \( \text{Cl}(X - A) \)، فإن كل جوار لـ \( x \) يحتوي على نقطة واحدة على الأقل من \( X - A \). وهذا يعني أن \( x \) لا يمكن أن تكون نقطة داخلية في \( A \)، لأن وجود جوار محتوى كليًا داخل \( A \) يؤدي إلى تناقض. ومن ثم فإن \( x \) تنتمي إلى متممة داخلية \( A \).
2. \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
   إذا كانت نقطة \( x \) تنتمي إلى \( X - \text{Int}(A) \)، فهذا يعني أنها ليست نقطة داخلية في \( A \). وبناءً عليه، فإن كل جوار لـ \( x \) يحتوي على نقطة واحدة على الأقل لا تنتمي إلى \( A \)، أي تنتمي إلى \( X - A \). ومن ثم فإن \( x \) تنتمي إلى إغلاق \( X - A \).

وبعد إثبات الاحتواءين، نستنتج أن:

$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$

وتُبرز هذه النتيجة بوضوح العلاقة الثنائية العميقة بين مفهومي الإغلاق والداخل ضمن إطار الطوبولوجيا العامة.