连续映射下连通性的保持

设 $ X $ 是一个连通的拓扑空间，且 $ f : X \to Y $ 是连续映射，则 $ f(X) $ 是 $ Y $ 中的一个连通子集。

等价地说，连通集合在连续映射下的像仍然是连通的。

从一个连通空间 $ X $ 出发，施加一个连续映射 $ f $，所得到的像集 $ f(X) $ 不会丧失连通性。仅凭连续映射本身，无法将一个空间分裂为彼此分离的部分。

在这一严格意义下，连通性是保持不变的。

什么是连通？ 若一个拓扑空间不能表示为两个非空且互不相交的开集的并，则称该空间是连通的。例如，一条线段是一个连通的点集；相反，两个彼此孤立的点构成一个不连通的空间。

一个具体的例子
证明

一个具体的例子

考虑如下拓扑空间

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

闭区间 $ [0,1] $ 是连通的。直观来看，它构成了一个完整的连续整体，不存在空隙或断裂。

现在定义一个映射 $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $

$$ f(x) = 2x $$

该映射是连续的，其像为

$$ f([0,1]) = [0,2] $$

像集 $ f(X) = [0,2] $ 同样是连通的。

因此，连通性得以保持。

说明。要证明一个集合不是连通的，必须构造两个开集 $ U $ 与 $ V $，它们互不相交（$ U \cap V = \emptyset $）、且均为非空（$ U \ne \emptyset $，$ V \ne \emptyset $），并且其并覆盖整个集合 $ f(X) $，即 $ f(X) \subset U \cup V $。在本例中这是不可能的，因为任何一对与区间 $ [0,2] $ 相交的互不相交开集，必然会遗漏区间 $ [0,2] $ 中的某些点。这等价于对实数区间进行分割，而这种分割在拓扑意义下是不可能的。因此，$ [0,2] $ 是连通的。

例 2

再次考虑拓扑空间 $ X $

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

区间 $ [0,1] $ 是连通的。

定义映射 $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $

$$ f(x) = 0 $$

映射 $ f $ 是连续的，其像为

$$ f(X) = \{ 0 \} $$

从几何角度看，区间 $ [0,1] $ 被整体压缩，完全坍缩为单个点（$ 0 $）。

尽管如此，像集 $ f(X) $ 仍然是连通的，因为集合 $ \{ 0 \} $ 非空，仅包含一个元素，无法分解为两个互不相交的子集。

因此，像的连通性依然得到保持。

说明。该映射对区间进行了折叠或压缩，但并未将其断裂。任何定义在区间上的连续映射，都不可能将其分裂为若干彼此分离的部分，也不可能产生一个不连通的像。连续映射可以压缩空间、识别不同点或降低维数，但无法破坏连通性。若要得到一个不连通的像，必然需要引入不连续性。

证明

证明采用反证法。

设 $ X $ 是一个连通空间，但假设其连续像 $ f(X) $ 不是连通的。

若 $ f(X) $ 不连通，则存在两个开集 $ U $ 与 $ V $，它们构成对 $ f(X) $ 的一个分离。也就是说，$ f(X) \subset U \cup V $，并且 $ f(X) $ 中的任意一点要么属于 $ U $，要么属于 $ V $，但不会同时属于二者。

这是关键的一步。由于 $ f $ 是连续映射，而连续映射下开集的原像仍然是开集，因此有：

$ f^{-1}(U) $ 在 $ X $ 中是开集
$ f^{-1}(V) $ 在 $ X $ 中是开集

此时出现矛盾。

由于 $ U $ 与 $ V $ 都包含 $ f(X) $ 中的点，集合 $ f^{-1}(U) $ 与 $ f^{-1}(V) $ 非空、互不相交，并且它们的并覆盖整个空间 $ X $。

这意味着 $ X $ 可以表示为两个非空且互不相交的开集的并。

但这与 $ X $ 连通的假设相矛盾。

因此，最初的假设不成立。由此得到结论：连通集合在连续映射下的像必然是连通的。

说明。换言之，连续映射可以弯曲或压缩空间，但不能产生空隙或断裂。将空间分割为彼此独立的部分，必须依赖不连续性。

等等。