每个连通子集都包含在某个连通分量中
设 \( A \) 与 \( B \) 是拓扑空间 \( X \) 的子集，其中 \( A \) 是连通集，且 \( A \subset B \)。如果 \( B \) 在 \( X \) 中可以分离为两个子集 \( B_1 \) 与 \( B_2 \)，那么 \( A \) 必然完全包含在这两个子集中的某一个之内：$$ A \subset B_1 \quad \text{或} \quad A \subset B_2 $$
这一结论可以用一句话概括：连通集不可能同时跨越一次分离的两个部分。
只要一个连通集处在一个可被分离的集合中，它就只能整体位于分离后的某一个部分，而不可能被"分开"。
为了形成直观理解，可以把连通集想象成一根完整且不断裂的绳子，放在一个信封里。如果信封被分成两个彼此隔离的隔间，而绳子保持完整，那么这根绳子只能完全落在其中一个隔间内。若它同时出现在两个隔间中，就意味着绳子被剪断了。连通性的作用正是排除这种情况，它保证集合不能跨越一次分离。
一个具体的例子
考虑最熟悉的拓扑空间：
$$ X = \mathbb{R} $$
以及 \( X \) 的如下子集：
$$ B = (-3,4) $$
集合 \( B \) 可以自然地分离为两个子集：
$$ B_1 = (-3,0), \qquad B_2 = (0,4) $$
它们互不相交：
$$ B_1 \cap B_2 = \varnothing $$
并且并集正好等于原集合：
$$ B_1 \cup B_2 = B $$
在 \( B \) 的子空间拓扑下，\( B_1 \) 与 \( B_2 \) 都是开集，因此它们构成了 \( B \) 在 \( X \) 中的一次分离。
现在取 \( B \) 的一个连通子集：
$$ A = (1,2) $$
显然 \( A \subset B_2 \)，因此 \( A \) 完全位于这次分离的其中一个部分中，这正是前述结论的直接体现。
注。如果改取 \( A = (-1,1) \)，就会得到 $$ A \cap B_1 \neq \varnothing, \qquad A \cap B_2 \neq \varnothing $$ 这样的形式。但这种情况在这里并不允许出现。原因在于，一旦 \( A \) 同时与 \( B_1 \) 和 \( B_2 \) 有非空交集，它本身就会被分成两个互不相交的部分，从而失去连通性。这与区间 \( (-1,1) \) 是连通集这一基本事实相矛盾。问题并不在于区间不连通，而在于它不可能在这种分离方式下作为一个整体包含在 \( B \) 中。
证明
假设
设 \( A \) 与 \( B \) 是拓扑空间 \( X \) 的子集，满足：
$$ A \subset X, \qquad B \subset X $$
并且：
- \( A \) 是连通集
- \( A \subset B \)
- \( B_1 \) 与 \( B_2 \) 构成了 \( B \) 在 \( X \) 中的一次分离
结论
则必有：
$$ A \subset B_1 \quad \text{或} \quad A \subset B_2 $$
证明思路
由于 \( B_1 \) 与 \( B_2 \) 构成了 \( B \) 的一次分离，我们知道：
- \( B_1 \cap B_2 = \varnothing \)
- \( B = B_1 \cup B_2 \)
- \( B_1 \) 与 \( B_2 \) 在 \( B \) 的子空间拓扑中都是开集
假设结论不成立，即 \( A \) 既不完全包含在 \( B_1 \) 中，也不完全包含在 \( B_2 \) 中，则：
$$ A \cap B_1 \neq \varnothing \qquad \text{且} \qquad A \cap B_2 \neq \varnothing $$
由于 \( A \subset B \)，可得：
$$ A = A \cap B = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) $$
而 \( B_1 \cap B_2 = \varnothing \) 意味着 \( A \cap B_1 \) 与 \( A \cap B_2 \) 也是互不相交的。进一步可以验证，这两个集合在 \( A \) 的子空间拓扑中都是非空开集。
因此，\( A \) 被分离成了两个互不相交的非空开集，这就构成了 \( A \) 的一次分离。
这与 \( A \) 是连通集的假设矛盾。
由此可知，反设不成立，结论必然成立：
$$ A \subset B_1 \quad \text{或} \quad A \subset B_2 $$
证明完毕。
