连通子空间

在拓扑空间 $ X $ 中，如果子集 $ A $ 配备从 $ X $ 继承的子空间拓扑后仍然构成一个连通空间，那么我们就说 $ A $ 在 $ X $ 中是连通的。

这个定义把连通性的讨论扩展到空间的任意子集，对于理解拓扑结构的整体形态十分重要。

在学习或研究拓扑时，一个常见的问题就是: 当我们以子空间拓扑来看某个子集时，它是否还保持连通。

注. 判断连通性的标准方法很直接。我们把 $ A $ 视为一个带子空间拓扑的空间，然后检查它是否可以拆分成两个不相交、非空并且在该拓扑下开的部分。如果这样的拆分存在，说明 $ A $ 在 $ X $ 中是不连通的；如果不存在，则它是连通的。

典型例子

来看一个简单又具有代表性的例子。取标准拓扑下的实数轴 $ \mathbb{R} $，考虑其中的子集 $ A $。

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

这个集合缺少唯一的点 $ 0 $。

它包括从 -1 到 0 的所有实数（不含 0），以及从 0 到 1 的所有实数（同样不含 0）。

正是这个点的缺失，让 $ A $ 自然分成了两个互不连通的部分。

将这两个部分分别记作:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

在子空间拓扑下，$ U $ 和 $ V $ 都是 $ A $ 中的开集。

它们互相独立，没有交集，并且两者合在一起正好组成整个 $ A $。这正是典型的“不连通”结构。

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

因此，我们可以清楚地看到，子空间 $ A $ 在 $ \mathbb{R} $ 中是不连通的。