连通与闭包
设 \( X \) 是一个拓扑空间，\( C \) 是 \( X \) 的一个连通子集。如果集合 \( A \) 既包含 \( C \)，又完全落在 \( C \) 的闭包之中，即 \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] 那么 \( A \) 依然是 \( X \) 中的连通子集。
可以这样理解：从一个已经连通的集合出发，只要加入的点始终与原集合保持“接触”，而没有引入任何断裂或空隙，就不可能破坏连通性。
这里的关键在于两点。首先，\( C \) 本身是连通的，内部不存在分割。其次，集合 \( A \) 包含 \( C \)，意味着我们并没有删去任何原有的点。
另一方面，由于 \( A \) 被限制在 \( C \) 的闭包中，\( A \) 所增加的点只能是那些不与 \( C \) 隔离的点。也就是说，这些点的任意一个开邻域都会与 \( C \) 相交。
正因如此，\( C \) 的连通性会自然地延续到 \( A \) 上。
一个直观的例子
考虑带有标准拓扑的实数直线 \( X = \mathbb{R} \)，并取一个区间作为集合 \( C \)。
$$ C = (0,1) $$
在实数直线上，任何区间都是连通的，因此 \( C \) 是一个连通集。
集合 \( C \) 的闭包为：
\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]
现在选择一个集合 \( A \)，满足 \( C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \)。例如：
\[ A = (0,1] \]
可以清楚地看到：
$$ C \subset A \qquad (0,1) \subset (0,1] $$
同时也有：
$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) \qquad (0,1] \subset [0,1] $$
因此，集合 \( A = (0,1] \) 在 \( \mathbb{R} \) 中仍然是连通的。
直观地说，我们只是从连通集 \( (0,1) \) 出发，加入了端点 \( 1 \)。这个点与原区间紧密相连，并没有引入任何分离，所以整体的连通性得以保留。
证明思路
下面给出这一结论的证明思路，帮助理解其中的逻辑。
设 \( X \) 是一个拓扑空间，\( C \subset X \) 是连通子集，\( A \) 满足
\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]
我们采用反证法。假设 \( A \) 不是连通的。
如果 \( A \) 不连通，那么它存在一个分离。也就是说，存在 \( X \) 中的两个开集 \( U \) 和 \( V \)，使得：
- \( U \) 与 \( V \) 都是 \( X \) 的开集
- \( A \subset U \cup V \)，即 \( A \) 被 \( U \) 和 \( V \) 覆盖
- \( A \cap U \neq \varnothing \)，且 \( A \cap V \neq \varnothing \)
- \( A \cap U \cap V = \varnothing \)，即在 \( A \) 上两者互不相交
由于 \( C \subset A \)，集合 \( C \) 也可以写成：
\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]
并且这两个部分互不相交。这说明，如果 \( C \cap U \) 和 \( C \cap V \) 都非空，那么 \( C \) 本身就会被分离。
然而，\( C \) 是连通的，这种情况不可能发生。因此，必有其中一个集合为空。不妨设：
\[ C \cap V = \varnothing \]
这意味着 \( C \subset U \)。
但根据假设，\( A \cap V \neq \varnothing \)，于是可以取一点 \( x \in A \cap V \)。由于 \( A \subset \operatorname{Cl}(C) \)，应当有 \( x \in \operatorname{Cl}(C) \)。
另一方面，\( V \) 是包含 \( x \) 的开集，而且 \( V \cap C = \varnothing \)。这说明存在一个不与 \( C \) 相交的开邻域包含 \( x \)。
这与 \( x \in \operatorname{Cl}(C) \) 的定义相矛盾，因为闭包中的点必须满足其任意开邻域都与 \( C \) 相交。
矛盾表明最初的假设是错误的。因此，集合 \( A \) 必然是连通的。
结论得证。
