Keterhubungan pada Ruang Bagian

Sebuah himpunan bagian $ A $ dari ruang topologi $ X $ dikatakan terhubung dalam $ X $ apabila, dengan topologi ruang bagian yang diwarisi dari $ X $, himpunan tersebut membentuk ruang topologi yang terhubung.

Dengan cara pandang ini, konsep keterhubungan tidak lagi terbatas pada keseluruhan ruang. Ia dapat diterapkan pada setiap himpunan bagian, sehingga kita dapat menilai bagaimana suatu bagian ruang berperilaku secara topologis ketika dipisahkan dari konteks yang lebih besar.

Pertanyaan dasarnya sederhana. Jika kita melihat $ A $ melalui topologi yang diinduksi oleh $ X $, apakah struktur internalnya tetap terhubung, atau justru terbelah menjadi dua bagian yang tidak saling berhubungan.

Catatan. Prosedurnya cukup jelas. Kita ambil himpunan $ A $, kita bekali dengan topologi ruang bagian dari $ X $, lalu kita periksa apakah $ A $ bisa dipecah menjadi dua himpunan yang tidak kosong, saling terpisah, dan terbuka dalam topologi tersebut. Jika pemisahan semacam itu memungkinkan maka $ A $ tidak terhubung dalam $ X $. Jika tidak mungkin, maka $ A $ terhubung dalam $ X $.

Contoh

Sebagai ilustrasi, perhatikan garis bilangan real $ \mathbb{R} $ dengan topologi standarnya, dan ambil himpunan bagian berikut.

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Himpunan ini hanya menghilangkan satu titik, yaitu $ 0 $. Namun hilangnya satu titik ini cukup untuk mengubah struktur keterhubungan di dalam $ A $.

Di satu sisi, $ A $ memuat semua bilangan real dari -1 hingga 0 tanpa menyertakan 0. Di sisi lain, ia memuat semua bilangan real dari 0 hingga 1, juga tanpa menyertakan 0. Ketiadaan titik tersebut memisahkan $ A $ menjadi dua blok yang berdiri sendiri:

interval dari -1 sampai 0 (tanpa 0)
interval dari 0 sampai 1 (tanpa 0)

Kedua bagian ini dapat kita tuliskan sebagai:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Ketika dilihat melalui topologi ruang bagian, baik $ U $ maupun $ V $ bersifat terbuka dalam $ A $. Mereka saling lepas, tidak beririsan, dan ketika digabungkan kembali menghasilkan seluruh $ A $. Situasi ini menggambarkan dengan tepat kondisi sebuah ruang bagian yang tidak terhubung.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Dari sini jelas bahwa ruang bagian $ A $ tidak terhubung dalam $ \mathbb{R} $. Pemisahan satu titik saja sudah cukup untuk memecah struktur topologinya.