Keterkaitan dan Penutupan

Misalkan $ X $ adalah suatu ruang topologi dan $ C $ merupakan subhimpunan terhubung di dalam $ X $. Jika suatu himpunan $ A $ memuat $ C $ dan berada di dalam penutupan dari $ C $, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] maka $ A $ juga merupakan subhimpunan terhubung di dalam $ X $.

Secara intuitif, pernyataan ini mengatakan bahwa jika kita memulai dari sebuah himpunan yang sudah terhubung, lalu menambahkan titik-titik yang tetap "menempel" padanya tanpa menciptakan celah atau pemisahan, maka keterhubungan tersebut tidak akan hilang.

Dalam situasi ini, $ C $ telah diketahui terhubung, sehingga tidak memiliki pemisahan internal. Selain itu, karena $ A $ memuat $ C $, tidak ada bagian dari himpunan awal yang dihapus.

Lebih jauh lagi, karena $ A $ berada di dalam penutupan dari $ C $, himpunan $ A $ hanya dapat memuat titik-titik yang tidak terisolasi dari $ C $. Artinya, setiap lingkungan terbuka dari titik-titik tersebut selalu beririsan dengan $ C $.

Akibatnya, sifat keterkaitan yang dimiliki oleh $ C $ secara alami diwariskan kepada $ A $.

Contoh konkret
Bukti

Contoh konkret

Sebagai ilustrasi, pertimbangkan ruang topologi $ X = \mathbb{R} $ dengan topologi standar, dan misalkan $ C $ adalah sebuah interval.

$$ C = (0,1) $$

Himpunan $ C $ terhubung di $ \mathbb{R} $, karena setiap interval pada garis bilangan real merupakan himpunan terhubung.

Penutupan dari $ C $ adalah

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Sekarang pilih sebuah himpunan $ A $ yang memenuhi $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Sebagai contoh, ambil:

\[ A = (0,1] \]

Jelas bahwa $ C $ termuat di dalam $ A $

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

dan pada saat yang sama $ A $ merupakan subhimpunan dari penutupan $ C $

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Dengan demikian, himpunan $ A = (0,1] $ juga terhubung di $ \mathbb{R} $.

Secara intuitif, kita hanya menambahkan satu titik, yaitu $ 1 $, ke dalam interval terhubung $ (0,1) $. Titik ini berada dalam kontak langsung dengan himpunan semula, sehingga tidak muncul pemisahan baru.

Oleh karena itu, himpunan $ A $ tetap terhubung di $ \mathbb{R} $.

Bukti

Misalkan $ X $ adalah suatu ruang topologi dan $ C \subset X $ merupakan subhimpunan terhubung.

Misalkan pula $ A $ adalah suatu himpunan yang memenuhi

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

Kita akan menunjukkan bahwa $ A $ terhubung di $ X $ dengan menggunakan pembuktian kontradiksi. Andaikan $ A $ tidak terhubung.

Jika demikian, maka terdapat suatu pemisahan dari $ A $. Artinya, ada himpunan terbuka $ U $ dan $ V $ di $ X $ sedemikian sehingga:

$ U $ dan $ V $ adalah subhimpunan terbuka dari $ X $
$ A \subset U \cup V $, sehingga $ A $ tertutupi oleh $ U $ dan $ V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ dan $ A \cap V \neq \varnothing $
$ (A \cap U) \cap (A \cap V) = \varnothing $, atau setara dengan $ A \cap U \cap V = \varnothing $

Sekarang perhatikan himpunan $ C $.

Karena $ C \subset A $, kita dapat menuliskan:

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

Selain itu, berlaku:

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]

Dengan demikian, $ C $ dinyatakan sebagai gabungan dari dua subhimpunan yang saling lepas.

Himpunan $ C \cap U $ dan $ C \cap V $ terbuka di dalam $ C $ menurut topologi subruang, karena keduanya merupakan irisan antara $ C $ dan himpunan terbuka di $ X $.

Hal ini berarti bahwa $ C $ akan memiliki suatu pemisahan, kecuali jika salah satu dari kedua himpunan tersebut kosong.

Namun, $ C $ terhubung dan tidak memiliki pemisahan. Oleh karena itu, salah satu dari dua himpunan tersebut harus kosong:

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{atau} \quad C \cap V = \varnothing \]

Tanpa mengurangi keumuman, anggap bahwa

\[ C \cap V = \varnothing \]

Ini berarti bahwa seluruh $ C $ termuat di dalam himpunan terbuka $ U $.

\[ C \subset U \]

Karena $ A \cap V \neq \varnothing $, pilih sebuah titik

\[ x \in A \cap V \]

Dari syarat $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $, diperoleh bahwa

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

Di sisi lain, karena $ x \in V $ dan $ V $ terbuka di $ X $, maka $ V $ merupakan suatu lingkungan terbuka dari $ x $.

Namun, $ V \cap C = \varnothing $, sehingga lingkungan terbuka ini tidak beririsan dengan $ C $.

Menurut definisi penutupan, sebuah titik termasuk dalam $ \operatorname{Cl}(C) $ jika dan hanya jika setiap lingkungan terbukanya beririsan dengan $ C $.

Dengan demikian, $ x $ tidak mungkin berada di dalam penutupan $ C $.

\[ x \in V \ \text{terbuka}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

Hal ini bertentangan dengan kesimpulan sebelumnya bahwa $ x \in \operatorname{Cl}(C) $.

Maka, asumsi bahwa $ A $ tidak terhubung adalah salah. Dengan demikian, berlaku:

\[ A \ \text{terhubung di} \ X \]

Ini menyelesaikan pembuktian.

Dan seterusnya.