Citra Kontinu dari Himpunan Terhubung adalah Terhubung

Jika $ X $ adalah ruang topologi yang terhubung dan $ f : X \to Y $ merupakan fungsi kontinu, maka citra $ f(X) $ adalah himpunan bagian yang terhubung di dalam ruang $ Y $.

Pernyataan ini menyatakan prinsip dasar dalam topologi: fungsi kontinu tidak dapat merusak keterhubungan. Dengan kata lain, apabila sebuah himpunan bersifat terhubung, maka citranya melalui fungsi kontinu juga akan tetap terhubung.

Mulai dari ruang terhubung $ X $, penerapan fungsi kontinu $ f $ menghasilkan himpunan titik baru $ f(X) $. Proses ini tidak mungkin memecah ruang tersebut menjadi bagian-bagian terpisah. Kontinuitas justru menjamin bahwa struktur global ruang tetap utuh.

Dalam pengertian ini, keterhubungan merupakan sifat topologis yang dipertahankan oleh fungsi kontinu.

Apa yang dimaksud dengan terhubung? Suatu ruang topologi dikatakan terhubung apabila tidak dapat dinyatakan sebagai gabungan dari dua himpunan terbuka yang tidak kosong dan saling lepas. Sebagai contoh, sebuah ruas garis merupakan himpunan titik yang terhubung. Sebaliknya, dua titik yang terpisah tanpa hubungan di antaranya membentuk ruang yang tidak terhubung.

Contoh konkret
Bukti

Contoh konkret

Perhatikan ruang topologi berikut:

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

Interval tertutup $ [0,1] $ merupakan himpunan terhubung. Secara intuitif, interval ini adalah satu bagian utuh tanpa celah atau pemisahan.

Definisikan fungsi $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ sebagai berikut:

$$ f(x) = 2x $$

Fungsi ini bersifat kontinu. Citra dari interval tersebut adalah

$$ f([0,1]) = [0,2] $$

Hasilnya, citra $ f(X) = [0,2] $ juga merupakan interval dan tetap terhubung.

Contoh ini menunjukkan secara langsung bahwa keterhubungan tidak hilang ketika suatu ruang dikenai fungsi kontinu.

Catatan. Untuk membuktikan bahwa suatu himpunan tidak terhubung, diperlukan dua himpunan terbuka $ U $ dan $ V $ yang saling lepas ( $ U \cap V = \emptyset $ ) dan tidak kosong, sehingga gabungannya menutupi seluruh himpunan $ f(X) $, yaitu $ f(X) \subset U \cup V $. Pada interval $ [0,2] $, hal ini tidak mungkin terjadi. Setiap pemisahan seperti itu pasti meninggalkan setidaknya satu titik interval di luar cakupan, yang berarti mencoba memisahkan sebuah interval bilangan real. Secara topologis, hal ini mustahil. Oleh karena itu, $ [0,2] $ adalah himpunan terhubung.

Contoh 2

Pertimbangkan kembali ruang topologi

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

Interval $ [0,1] $ tetap merupakan himpunan terhubung.

Definisikan fungsi $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ dengan

$$ f(x) = 0 $$

Fungsi ini bersifat kontinu, dan citranya adalah

$$ f(X) = \{ 0 \} $$

Secara geometris, seluruh interval $ [0,1] $ dipampatkan dan disatukan menjadi satu titik tunggal ($ 0 $).

Meskipun interval tersebut "runtuh" menjadi satu titik, citra $ f(X) $ tetap terhubung. Himpunan $ \{ 0 \} $ tidak kosong, hanya terdiri atas satu elemen, dan tidak dapat dipisahkan menjadi dua bagian yang saling lepas.

Contoh ini menegaskan bahwa pemampatan ekstrem sekalipun tidak menghancurkan keterhubungan, selama fungsi yang digunakan bersifat kontinu.

Catatan. Fungsi tersebut melipat interval, tetapi tidak memutuskannya. Setiap fungsi kontinu yang didefinisikan pada suatu interval tidak dapat memecah interval itu menjadi bagian-bagian terpisah. Fungsi dapat mengidentifikasi titik-titik yang berbeda, memampatkan ruang, atau menurunkan dimensinya, tetapi tidak dapat menghilangkan sifat keterhubungan. Untuk menghasilkan citra yang tidak terhubung, diperlukan adanya ketakselanjaran.

Bukti

Bukti teorema ini dilakukan dengan metode kontradiksi.

Misalkan $ X $ adalah ruang topologi yang terhubung, tetapi citra kontinu $ f(X) $ tidak terhubung.

Jika $ f(X) $ tidak terhubung, maka terdapat dua himpunan terbuka $ U $ dan $ V $ yang membentuk suatu pemisahan dari $ f(X) $. Artinya, $ f(X) \subset U \cup V $, dan setiap titik di dalam $ f(X) $ berada tepat di salah satu dari $ U $ atau $ V $, tetapi tidak di keduanya.

Inilah langkah kunci. Karena $ f $ bersifat kontinu, prapeta dari himpunan terbuka oleh $ f $ juga merupakan himpunan terbuka. Dengan demikian, diperoleh:

$ f^{-1}(U) $ adalah himpunan terbuka di dalam $ X $
$ f^{-1}(V) $ adalah himpunan terbuka di dalam $ X $

Selain itu, karena $ U $ dan $ V $ memuat titik-titik dari $ f(X) $, maka himpunan $ f^{-1}(U) $ dan $ f^{-1}(V) $ tidak kosong, saling lepas, dan bersama-sama menutupi seluruh ruang $ X $.

Hal ini berarti bahwa $ X $ dapat dinyatakan sebagai gabungan dari dua himpunan terbuka yang tidak kosong dan saling lepas.

Pernyataan ini bertentangan dengan asumsi awal bahwa $ X $ adalah ruang terhubung.

Kontradiksi tersebut menunjukkan bahwa asumsi awal keliru. Oleh karena itu, pernyataan yang benar adalah bahwa citra kontinu dari suatu himpunan terhubung selalu terhubung.

Catatan. Secara intuitif, fungsi kontinu dapat membengkokkan atau memampatkan suatu ruang, tetapi tidak dapat menciptakan celah atau robekan. Pemisahan sebuah ruang menjadi bagian-bagian terpisah hanya mungkin terjadi jika terdapat ketakselanjaran.

Dan seterusnya.