Непрерывные отображения сохраняют связность

Пусть $ X $ - связное топологическое пространство, а $ f : X \to Y $ - непрерывное отображение. Тогда образ $ f(X) $ является связным подмножеством пространства $ Y $.

Иными словами, если множество является связным, то при непрерывном отображении его образ не теряет этого свойства.

Начав со связного пространства $ X $ и применив к нему непрерывное отображение $ f $, мы получаем множество точек $ f(X) $, которое не может распасться на отдельные части. Непрерывность исключает возможность «разрыва» пространства.

В этом строгом математическом смысле говорят, что связность сохраняется при непрерывных отображениях.

Что означает связность? Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых, непересекающихся открытых множеств. Например, отрезок вещественной прямой является связным. Напротив, две изолированные точки образуют несвязное пространство.

Конкретный пример
Доказательство

Конкретный пример

Рассмотрим топологическое пространство

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

Замкнутый интервал $ [0,1] $ является связным. Интуитивно это единое целое, не содержащее разрывов.

Определим отображение $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $

$$ f(x) = 2x $$

Это отображение непрерывно, а его образ равен

$$ f([0,1]) = [0,2] $$

Полученный интервал $ f(X) = [0,2] $ также является связным.

Следовательно, связность сохраняется.

Примечание. Чтобы показать, что некоторое множество не является связным, необходимо найти два открытых множества $ U $ и $ V $, которые не пересекаются ( $ U \cap V = \emptyset $ ), оба непусты и в совокупности покрывают все множество $ f(X) $, то есть $ f(X) \subset U \cup V $. В данном случае это невозможно, поскольку любые два непересекающихся открытых множества, пересекающие интервал $ [0,2] $, неизбежно «пропускают» хотя бы одну точку этого интервала. Такое разбиение невозможно для вещественного интервала. Поэтому $ [0,2] $ является связным.

Пример 2

Рассмотрим то же пространство $ X $

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

Интервал $ [0,1] $ является связным.

Определим отображение $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $

$$ f(x) = 0 $$

Отображение $ f $ непрерывно, а его образ имеет вид

$$ f(X) = \{ 0 \} $$

Геометрически это означает, что весь интервал $ [0,1] $ сжимается и отображается в одну точку ($ 0 $).

Тем не менее образ $ f(X) $ остается связным. Множество $ \{ 0 \} $ непусто, состоит из одного элемента и не может быть разложено на два непересекающихся подмножества.

Таким образом, даже при полном «сжатии» пространства связность образа сохраняется.

Примечание. Непрерывное отображение может сжимать пространство, отождествлять различные точки или понижать его размерность, но оно не способно разрушить связность. Для получения несвязного образа необходим разрыв отображения.

Доказательство

Доказательство проводится методом от противного.

Предположим, что пространство $ X $ является связным, однако его непрерывный образ $ f(X) $ не является связным.

Это означало бы, что существуют два открытых множества $ U $ и $ V $, которые разбивают $ f(X) $ на две части. То есть $ f(X) \subset U \cup V $, и каждая точка множества $ f(X) $ принадлежит либо $ U $, либо $ V $, но не обоим одновременно.

Ключевым является следующее наблюдение. Поскольку отображение $ f $ непрерывно, прообраз любого открытого множества является открытым. Следовательно:

$ f^{-1}(U) $ является открытым множеством в $ X $
$ f^{-1}(V) $ является открытым множеством в $ X $

При этом множества $ f^{-1}(U) $ и $ f^{-1}(V) $ непусты, не пересекаются и в совокупности покрывают все пространство $ X $.

Тем самым пространство $ X $ представляется в виде объединения двух непустых, непересекающихся открытых множеств.

Но это противоречит предположению о связности пространства $ X $.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение неверно. Следовательно, непрерывный образ связного множества обязательно является связным.

Примечание. Иначе говоря, непрерывное отображение может изгибать или сжимать пространство, но оно не создает разрывов. Разделение пространства на изолированные части возможно только при наличии разрыва.

И так далее.