Связность и замыкание

Пусть $ X $ - топологическое пространство, а $ C $ - связное подмножество пространства $ X $. Если множество $ A $ содержит $ C $ и одновременно содержится в замыкании $ C $, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] то множество $ A $ также является связным подмножеством пространства $ X $.

Идея этого утверждения интуитивно понятна. Если начать со связного множества и добавлять к нему только такие точки, которые остаются с ним в топологическом «контакте», не создавая разрывов и разделений, то результат не может утратить связность.

Множество $ C $ по условию уже связно, а значит, внутри него невозможно выделить два непересекающихся открытых подмножества. Кроме того, множество $ A $ содержит $ C $, поэтому исходная структура множества не нарушается.

Условие $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ означает, что в $ A $ могут входить только те точки, которые не изолированы от $ C $. Иными словами, каждая открытая окрестность такой точки пересекается с $ C $.

В результате связность множества $ C $ естественным образом сохраняется и для множества $ A $.

Конкретный пример
Доказательство

Конкретный пример

Рассмотрим пространство $ X = \mathbb{R} $ со стандартной топологией и возьмем в качестве $ C $ некоторый интервал.

$$ C = (0,1) $$

Множество $ C $ является связным в $ \mathbb{R} $, поскольку любой интервал на вещественной прямой представляет собой связное подмножество.

Замыкание этого множества равно

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Выберем теперь множество $ A $, для которого выполняется включение $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Например, положим:

\[ A = (0,1] \]

Очевидно, что

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

и одновременно

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Следовательно, множество $ A = (0,1] $ также является связным в пространстве $ \mathbb{R} $.

Фактически мы начали со связного интервала $ (0,1) $ и добавили к нему одну граничную точку $ 1 $, которая принадлежит замыканию исходного множества и не создает разрыва. Поэтому связность сохраняется.

Доказательство

Пусть $ X $ - топологическое пространство, а $ C \subset X $ - связное подмножество. Рассмотрим множество $ A $, для которого

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

Докажем, что $ A $ является связным в $ X $. Предположим противное, а именно, что множество $ A $ несвязно.

В этом случае существует разделение множества $ A $. То есть найдутся открытые в $ X $ множества $ U $ и $ V $, удовлетворяющие следующим условиям:

$ U $ и $ V $ открыты в пространстве $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ и $ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

Рассмотрим теперь множество $ C $. Поскольку $ C \subset A $, имеем разложение

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

и при этом

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = \varnothing \]

Множества $ C \cap U $ и $ C \cap V $ открыты в $ C $ в топологии подпространства, так как получаются пересечением с открытыми множествами пространства $ X $.

Если бы оба эти множества были непустыми, то они задавали бы разделение множества $ C $, что невозможно, поскольку $ C $ связно.

Следовательно, одно из них должно быть пустым. Без ограничения общности предположим, что

\[ C \cap V = \varnothing \]

Тогда все множество $ C $ содержится в $ U $:

\[ C \subset U \]

Так как $ A \cap V \neq \varnothing $, выберем точку $ x \in A \cap V $. Из включения $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ следует, что

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

С другой стороны, $ x \in V $, а множество $ V $ открыто в $ X $, то есть $ V $ является открытой окрестностью точки $ x $.

Однако $ V \cap C = \varnothing $, а значит, найдена открытая окрестность точки $ x $, не пересекающаяся с $ C $. Это противоречит определению замыкания.

Полученное противоречие показывает, что предположение о несвязности множества $ A $ неверно. Следовательно,

\[ A \ \text{является связным в} \ X \]

Доказательство завершено.

И так далее.