Связность подпространства

Подмножество $ A $ топологического пространства $ X $ считают связным в $ X $, если с индуцированной от $ X $ топологией подпространства оно образует связное топологическое пространство.

Это определение позволяет рассматривать связность не только для всего пространства, но и для любых его подмножеств. Такой подход полезен, когда нас интересует структура конкретной части пространства.

Главный вопрос состоит в том, сохраняет ли подмножество связность при рассмотрении его в топологии, унаследованной от $ X $.

Примечание. Чтобы установить, является ли подмножество $ A $ связным, его наделяют топологией подпространства от $ X $ и проверяют, можно ли разложить $ A $ на два непустых и непересекающихся множества, открытых в этой топологии. Если такое разложение существует, $ A $ несвязно. Если нет, то $ A $ связно.

Практический пример

Рассмотрим действительную прямую $ \mathbb{R} $ со стандартной топологией и подмножество

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Это множество отличается тем, что ему не хватает одной точки, а именно $ 0 $.

В него входят все числа от -1 до 0, не включая 0, а также все числа от 0 до 1, снова без точки 0.

Отсутствие этой точки естественным образом делит $ A $ на две отдельные части:

интервал от -1 до 0, исключая 0
интервал от 0 до 1, также без 0

Запишем их явно:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Эти множества оказываются открытыми в $ A $ при рассмотрении его в топологии подпространства. Они не пересекаются и вместе полностью покрывают $ A $. Это и есть типичный пример несвязного подмножества.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Таким образом, подпространство $ A $ является несвязным в $ \mathbb{R} $.