연속 함수에 의한 연결성의 보존

위상공간 \( X \)가 연결되어 있고 함수 \( f : X \to Y \)가 연속이면, 그 상 \( f(X) \)는 \( Y \)의 연결된 부분집합이다.

간단히 말해, 연결된 집합에 연속 함수를 적용해도 그 결과는 여전히 연결되어 있다.

연결된 공간 \( X \) 위에서 정의된 연속 함수 \( f \)는 공간의 형태를 바꾸거나 압축할 수는 있지만, 이를 서로 분리된 부분으로 쪼갤 수는 없다. 연속성만으로는 연결성을 깨뜨릴 수 없기 때문이다.

이러한 의미에서 우리는 연결성이 연속 함수에 의해 보존된다고 말한다.

연결성이란 무엇인가? 위상공간이 연결되어 있다는 것은, 공집합이 아닌 두 개의 서로소 열린 집합의 합으로 공간 전체를 나눌 수 없다는 뜻이다. 예를 들어, 실수 직선 위의 하나의 선분은 중간에 끊어짐이 없는 연결 집합이다. 반면, 서로 떨어진 두 점만으로 이루어진 집합은 연결되어 있지 않다.

구체적인 예

다음과 같은 위상공간을 생각해 보자.

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

닫힌 구간 \( [0,1] \)은 연결 집합이다. 직관적으로 보아도, 이 구간은 빈틈 없이 하나의 연속적인 덩어리를 이룬다.

이제 함수 \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \)를 다음과 같이 정의하자.

$$ f(x) = 2x $$

이 함수는 연속이며, 구간의 상은 다음과 같다.

$$ f([0,1]) = [0,2] $$

결과로 얻어진 집합 \( f(X) = [0,2] \) 역시 하나의 연결 집합이다.

즉, 이 경우에도 연결성은 그대로 유지된다.

Note. 어떤 집합이 연결되어 있지 않다는 것을 보이려면, 서로소이면서 공집합이 아닌 두 열린 집합 \( U \)와 \( V \)가 존재하여 그 합이 전체 집합 \( f(X) \)를 덮어야 한다. 그러나 \( [0,2] \)와 교차하는 두 개의 서로소 열린 집합은 필연적으로 구간의 일부를 제외하게 된다. 이는 실수 구간을 둘로 나누는 것이 불가능하다는 사실을 의미하며, 따라서 \( [0,2] \)는 연결 집합이다.

예제 2

다시 위상공간 \( X \)를 살펴보자.

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

구간 \( [0,1] \)은 여전히 연결 집합이다.

이번에는 함수 \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \)를 다음과 같이 정의하자.

$$ f(x) = 0 $$

이 함수 역시 연속이며, 그 상은 다음과 같다.

$$ f(X) = \{ 0 \} $$

기하학적으로 보면, 구간 \( [0,1] \) 전체가 하나의 점($  0 $)으로 완전히 수축된 것이다.

그럼에도 불구하고 결과 집합 \( f(X) \)는 연결되어 있다. 단 하나의 원소로 이루어진 집합은 공집합이 아니며, 둘로 나눌 수 없기 때문이다.

따라서 이 경우에도 상의 연결성은 보존된다.

Note. 이 예는 연속 함수가 공간을 얼마나 강하게 변형할 수 있는지를 보여준다. 공간을 한 점으로 압축하거나 서로 다른 점들을 하나로 식별할 수는 있지만, 그 과정에서 연결성을 파괴할 수는 없다. 연결되지 않은 집합을 얻으려면 반드시 불연속적인 변화가 필요하다.

증명 개요

이 성질은 모순법을 통해 명확하게 증명할 수 있다.

\( X \)가 연결된 위상공간이라고 가정하자. 그런데 그 연속상 \( f(X) \)가 연결되어 있지 않다고 가정하면, 논리적인 모순이 발생한다.

\( f(X) \)가 연결되어 있지 않다면, 이를 분리하는 두 개의 서로소 열린 집합 \( U \)와 \( V \)가 존재하여 \( f(X) \subset U \cup V \)가 된다. 즉, \( f(X) \)의 각 점은 \( U \) 또는 \( V \) 중 하나에만 속한다.

여기서 중요한 점은 함수 \( f \)가 연속이라는 사실이다. 연속 함수는 열린 집합의 원상을 다시 열린 집합으로 보낸다. 따라서 다음이 성립한다.

• \( f^{-1}(U) \)는 \( X \)의 열린 집합이다.
• \( f^{-1}(V) \)는 \( X \)의 열린 집합이다.

그런데 \( U \)와 \( V \)가 \( f(X) \)를 나누고 있으므로, 이들의 원상 \( f^{-1}(U) \)와 \( f^{-1}(V) \) 역시 공집합이 아니며 서로소이고, 그 합은 전체 공간 \( X \)가 된다.

이는 \( X \)가 두 개의 서로소 열린 집합으로 분해될 수 있음을 의미하며, \( X \)가 연결되어 있다는 가정과 정면으로 모순된다.

따라서 처음의 가정은 잘못되었고, 다음 명제가 성립한다.

연결된 집합의 연속상은 항상 연결되어 있다.

Note. 요약하면, 연속 함수는 공간을 휘게 하거나 압축할 수는 있지만, 틈이나 단절을 만들어낼 수는 없다. 공간을 분리된 조각으로 나누기 위해서는 반드시 불연속성이 필요하다.

이와 같은 관점은 위상수학 전반에서 매우 중요한 역할을 한다.