부분집합의 연결성

위상공간 $ X $의 부분집합 $ A $는 $ X $에서 유도된 부분공간 위상을 적용했을 때 하나의 연결 공간으로 유지되면 $ X $에서 연결되어 있다고 말한다.

이 개념은 연결성을 전체 공간의 성질로만 보지 않고, 그 내부의 다양한 부분집합에까지 넓혀 생각하도록 해 준다. 어떤 부분집합이 유도 위상에서도 끊기지 않고 하나로 이어져 있는지가 핵심이다.

주의. 부분공간 위상을 적용한 $ A $가 두 개의 공집합이 아닌, 서로 완전히 분리된 열린집합으로 나뉠 수 있다면 $ A $는 비연결이고, 그런 분할이 불가능하다면 연결된 것이다. 이는 위상수학에서 연결성을 판단할 때 사용하는 기본적인 기준이다.

예시

표준 위상을 가진 실수직선 $ \mathbb{R} $에서 다음 집합을 살펴보자.

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

이 집합은 단 하나의 점 $ 0 $만 제외한다. -1에서 0까지의 모든 실수(0 제외)와 0에서 1까지의 모든 실수(0 제외)를 포함한다.

정확히 이 한 점이 빠져 있기 때문에 집합은 자연스럽게 두 부분으로 나뉜다.

이 두 부분은 각각 다음과 같다.

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

$ U $와 $ V $는 부분공간 위상에서 모두 $ A $의 열린집합이며, 서로 겹치지 않는다. 두 집합을 합치면 정확히 $ A $ 전체가 된다.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

따라서 $ A $는 $ \mathbb{R} $에서 명확히 비연결 집합이다. 이 예시는 한 점이 빠지는 것만으로도 부분집합의 연결성이 어떻게 달라지는지를 잘 보여 준다.