모든 연결 부분집합은 하나의 연결 성분에 포함된다

위상공간 \( X \)의 부분집합 \( A \)와 \( B \)를 생각해 보자. \( A \)가 연결 집합이고 \( A \subset B \)라고 하자. 이때 \( B \)가 \( X \)에서 두 부분집합 \( B_1 \)과 \( B_2 \)로 분리될 수 있다면, \( A \)는 이 둘 중 정확히 하나에 전부 포함될 수밖에 없다. 다시 말해 다음 중 하나가 반드시 성립한다. $$ A \subset B_1 \quad \text{또는} \quad A \subset B_2 $$

연결 집합은 분리의 양쪽을 동시에 가로지를 수 없다.

어떤 집합이 서로소인 두 부분집합으로 나뉘어 있을 때, 그 안에 들어 있는 연결 부분집합은 반드시 한쪽에만 속한다. 이는 연결성의 가장 기본적인 성질 가운데 하나이다.

직관적으로 이해해 보면, 연결 집합은 봉투 안에 넣은 하나의 끊어지지 않은 밧줄과 같다. 봉투를 서로 겹치지 않는 두 칸으로 나누더라도 밧줄이 끊어지지 않았다면, 그 밧줄은 반드시 한 칸 안에 전부 놓이게 된다. 만약 두 칸에 걸쳐 있다면, 이는 밧줄이 이미 끊어졌다는 뜻이다. 이처럼 연결성은 집합이 분리를 가로질러 퍼지는 것을 원천적으로 막는다.

구체적인 예

가장 익숙한 위상공간인 실수 전체 집합을 생각해 보자.

$$ X = \mathbb{R} $$

이제 다음 부분집합을 취한다.

$$ B = (-3,4) $$

이 집합은 다음과 같이 두 부분집합으로 분리될 수 있다.

$$ B_1 = (-3,0) $$

$$ B_2 = (0,4) $$

이때 두 집합은 서로소이며,

$$ B_1 \cap B_2 = \varnothing $$

그 합집합은 다시 원래의 집합 \( B \)가 된다.

$$ B_1 \cup B_2 = B $$

또한 \( B \)에 유도된 부분공간 위상에서 \( B_1 \)과 \( B_2 \)는 모두 열린 집합이므로, 이 둘은 \( X \)에서 \( B \)의 분리를 이룬다.

이제 \( B \) 안의 연결 부분집합을 하나 살펴보자.

$$ A = (1,2) $$

이 경우 \( A \subset B_2 \)이므로, \( A \)는 분리를 이루는 두 부분집합 중 하나에 완전히 포함되어 있다.

Note. 반대로 \( A = (-1,1) \)로 두면 $$ A \cap B_1 \neq \varnothing, \qquad A \cap B_2 \neq \varnothing $$ 가 된다. 그러나 이러한 상황은 허용되지 않는다. \( B_1 \)과 \( B_2 \)가 \( B \)의 분리를 이루고 있기 때문에, 연결 부분집합은 이 둘에 나뉘어 존재할 수 없다. 만약 가능하다면 \( A \) 자체가 분리되어야 하고, 이는 구간 \( (-1,1) \)이 연결 집합이라는 사실과 모순된다. 핵심은 \( (-1,1) \)의 연결성이 아니라, 이러한 분리 구조를 가진 \( B \) 안에 포함될 수 없다는 점이다.

증명

가정

위상공간 \( X \)의 부분집합 \( A \)와 \( B \)에 대해 다음을 가정한다.

$$ A \subset X \quad \text{그리고} \quad B \subset X $$

• \( A \)는 연결 집합이다
• \( A \subset B \)이다
• \( B_1 \)과 \( B_2 \)는 \( X \)에서 \( B \)의 분리를 이룬다

명제

이때 \( A \)는 \( B_1 \) 또는 \( B_2 \) 가운데 하나에 포함된다.

$$ A \subset B_1 \quad \text{또는} \quad A \subset B_2 $$

증명

\( B_1 \)과 \( B_2 \)가 \( B \)의 분리를 이룬다는 가정으로부터 다음이 성립한다.

• \( B_1 \cap B_2 = \varnothing \)
• \( B = B_1 \cup B_2 \)
• \( B_1 \)과 \( B_2 \)는 \( B \)에 유도된 부분공간 위상에서 열린 집합이다

이제 모순을 가정하여, \( A \)가 어느 쪽에도 완전히 포함되지 않는다고 하자.

$$ A \cap B_1 \neq \varnothing \qquad \text{그리고} \qquad A \cap B_2 \neq \varnothing $$

\( A \subset B \)이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ A = A \cap B = A \cap (B_1 \cup B_2) = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) $$

\( B_1 \)과 \( B_2 \)가 서로소이기 때문에, \( A \cap B_1 \)과 \( A \cap B_2 \) 역시 서로소이며 공집합이 아니다. 또한 이 두 집합은 \( A \)에 유도된 부분공간 위상에서 열린 집합이다.

이는 \( A \)가 분리될 수 있음을 의미하며, \( A \)가 연결 집합이라는 가정과 모순된다.

따라서 처음의 가정은 잘못되었고, 다음 결론이 성립한다.

$$ A \subset B_1 \quad \text{또는} \quad A \subset B_2 $$

이로써 증명이 끝난다.

이 결과는 연결성과 연결 성분을 이해하는 데 있어 기본적이면서도 중요한 도구로 자주 활용된다.