연결집합과 폐포

위상공간 \( X \)가 주어지고, \( C \)가 \( X \)의 연결된 부분집합이라고 하자. 어떤 집합 \( A \)가 \( C \)를 포함하면서 동시에 \( C \)의 폐포에 포함되어 있다면, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] 집합 \( A \) 역시 \( X \)에서 연결된 부분집합이다.

이 명제는 연결성에 대한 직관을 잘 보여준다. 이미 하나로 이어진 집합에서 출발해, 그 집합과 끊어지지 않은 점들만을 추가한다면, 중간에 틈이나 분리가 생길 이유가 없다. 즉, 연결된 구조는 그대로 유지된다.

실제로 \( C \)는 연결집합이므로 내부적으로 둘로 나뉠 수 없다. 또한 \( A \)는 \( C \)를 포함하고 있으므로, 기존의 점을 제거하는 일도 없다. 여기에 더해 \( A \subset \operatorname{Cl}(C) \)라는 조건은, \( C \)와 완전히 고립된 점이 \( A \)에 들어올 수 없음을 보장한다.

결국 \( A \)에 새로 포함되는 점들은 모두 \( C \)와 밀접하게 접촉해 있으며, 이로 인해 \( C \)의 연결성은 자연스럽게 \( A \)로 이어진다.

구체적인 예

표준 위상을 갖는 실수선 \( X = \mathbb{R} \)을 생각해 보자. 다음과 같은 열린구간을 취한다.

$$ C = (0,1) $$

실수선에서 구간은 항상 연결되어 있으므로, \( C \)는 \( \mathbb{R} \)에서 연결된 부분집합이다.

이 구간의 폐포는 다음과 같다.

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

이제 \( C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \)를 만족하는 집합 \( A \)를 하나 선택하자. 예를 들어

\[ A = (0,1] \]

와 같이 둘 수 있다.

이 경우

$$ (0,1) \subset (0,1] \subset [0,1] $$

가 성립한다. 즉, \( A \)는 \( C \)를 포함하면서도 \( C \)의 폐포를 벗어나지 않는다.

이 집합은 원래의 연결집합 \( (0,1) \)에 끝점 \( 1 \) 하나만을 추가한 것이다. 이 점은 기존 집합과 직접 맞닿아 있으므로, 새로운 분리를 만들지 않는다.

따라서 \( A = (0,1] \) 역시 \( \mathbb{R} \)에서 연결된 집합이다.

증명

이제 위의 사실을 일반적으로 증명해 보자. 위상공간 \( X \)와 그 연결된 부분집합 \( C \subset X \)를 잡고,

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

를 만족하는 집합 \( A \)를 고려한다.

\( A \)가 연결되어 있음을 보이기 위해, 반대로 \( A \)가 연결되지 않았다고 가정하자. 그러면 \( A \)에는 분리가 존재하여, \( X \)의 열린집합 \( U \), \( V \)가 다음 조건을 만족한다.

• \( U \)와 \( V \)는 \( X \)의 열린집합이다.
• \( A \subset U \cup V \)이다.
• \( A \cap U \neq \varnothing \)이고 \( A \cap V \neq \varnothing \)이다.
• \( A \cap U \cap V = \varnothing \)이다.

\( C \subset A \)이므로,

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

로 쓸 수 있고, 두 집합은 서로소이다. 또한 \( C \cap U \), \( C \cap V \)는 부분공간 위상에서 \( C \)의 열린집합이다.

만약 두 집합이 모두 공집합이 아니라면, 이는 \( C \)의 분리를 의미한다. 그러나 \( C \)는 연결집합이므로 이러한 상황은 불가능하다.

따라서

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{또는} \quad C \cap V = \varnothing \]

가 되어야 한다. 일반성을 잃지 않고 \( C \cap V = \varnothing \)라고 가정하자. 그러면 \( C \subset U \)이다.

그런데 \( A \cap V \neq \varnothing \)이므로, 어떤 점 \( x \in A \cap V \)가 존재한다. 한편 \( A \subset \operatorname{Cl}(C) \)이므로 \( x \in \operatorname{Cl}(C) \)이다.

하지만 \( V \)는 \( x \)의 열린 근방이며, \( V \cap C = \varnothing \)이다. 이는 \( x \)가 \( C \)의 폐포에 속한다는 정의와 모순된다.

결국 \( A \)가 연결되지 않았다는 가정은 거짓이며, 따라서 \( A \)는 \( X \)에서 연결된 부분집합이다.

이로써 증명이 끝난다.

이하 계속.