حفظ خاصية الاتصال بواسطة الدوال المستمرة
إذا كان \( X \) فضاءً طوبولوجيًا متصلًا وكانت \( f : X \to Y \) دالةً مستمرة، فإن \( f(X) \) تكون مجموعةً متصلة في \( Y \).
وبعبارة أبسط، فإن الصورة الناتجة عن تطبيق دالة مستمرة على مجموعة متصلة تبقى بدورها متصلة.
عندما نبدأ بفضاء متصل \( X \) ونطبّق عليه دالة مستمرة \( f \)، فإن مجموعة النقاط الناتجة \( f(X) \) لا يمكن أن تفقد خاصية الاتصال. فالدالة المستمرة قد تغيّر شكل الفضاء، لكنها لا تستطيع تقسيمه إلى أجزاء منفصلة.
بهذا المعنى الدقيق، نقول إن خاصية الاتصال تُحفظ تحت الدوال المستمرة.
ما المقصود بالاتصال؟ يُقال إن الفضاء الطوبولوجي متصل إذا لم يكن من الممكن تقسيمه إلى مجموعتين مفتوحتين غير فارغتين ومتباينتين. فعلى سبيل المثال، تمثل قطعة مستقيمة مجموعة نقاط متصلة. أما نقطتان منفصلتان تمامًا فتمثلان فضاءً غير متصل.
مثال بسيط
لننظر إلى الفضاء الطوبولوجي
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
الفترة المغلقة \( [0,1] \) متصلة. ومن الناحية الحدسية، هي قطعة واحدة متماسكة بلا فجوات أو انقطاعات.
نعرّف الدالة
$$ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 2x $$
هذه الدالة مستمرة، وصورة الفترة هي
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
ومن الواضح أن الصورة \( f(X) = [0,2] \) تبقى متصلة.
إذن، لم تؤدِّ الدالة المستمرة إلى فقدان الاتصال.
ملاحظة. لكي تكون مجموعة ما غير متصلة، يجب أن يمكن تغطيتها بمجموعتين مفتوحتين متباينتين وغير فارغتين. في حالة الفترة $ [0,2] $، هذا غير ممكن، لأن أي محاولة لفصلها ستؤدي حتمًا إلى استبعاد نقطة من الفترة. ولهذا السبب تبقى الفترة الحقيقية متصلة.
مثال 2
نعود مرة أخرى إلى الفضاء
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
وهو فضاء متصل.
نعرّف الدالة
$$ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 0 $$
الدالة مستمرة، وصورتها هي
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
من الناحية الهندسية، تنهار الفترة \( [0,1] \) بالكامل لتصبح نقطة واحدة.
ومع ذلك، فإن المجموعة \( \{ 0 \} \) تبقى متصلة، لأنها غير فارغة وتتكوّن من عنصر واحد فقط، ولا يمكن تقسيمها إلى أجزاء.
إذن، حتى في هذه الحالة، تبقى خاصية الاتصال محفوظة.
ملاحظة. قد تقوم الدالة المستمرة بضغط الفضاء أو طيّه أو دمج نقاط مختلفة فيه، لكنها لا تستطيع أن تمزّقه أو تفصله. إن إنتاج صورة غير متصلة يتطلب وجود عدم استمرارية.
فكرة البرهان
يعتمد البرهان على أسلوب الخلف.
نفترض أن \( X \) فضاء متصل، لكن صورته \( f(X) \) تحت دالة مستمرة غير متصلة.
إذا كانت \( f(X) \) غير متصلة، فلا بد من وجود مجموعتين مفتوحتين متباينتين \( U \) و \( V \) تغطيان \( f(X) \).
وبما أن \( f \) دالة مستمرة، فإن السابقة العكسية لكل مجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة أيضًا. وبالتالي فإن:
- \( f^{-1}(U) \) مجموعة مفتوحة في \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) مجموعة مفتوحة في \( X \)
هاتان المجموعتان غير فارغتين ومتباينتين، ويغطي اتحادهما الفضاء \( X \) بالكامل.
وهذا يعني أن \( X \) غير متصل، وهو ما يناقض الفرضية الأساسية.
ومن هنا نستنتج أن الافتراض خاطئ، وأن الصورة المستمرة لمجموعة متصلة لا بد أن تكون متصلة.
خلاصة. يمكن للدوال المستمرة أن تغيّر شكل الفضاء بطرق متعددة، لكنها لا تستطيع أن تخلق فجوات أو تفصل الفضاء إلى أجزاء مستقلة. الاتصال خاصية متينة لا تُكسر إلا بوجود عدم استمرارية.
وما إلى ذلك.
