الاتصال والإغلاق

ليكن $ X $ فضاءً طوبولوجيًا، ولتكن $ C $ مجموعة متصلة من $ X $. إذا كانت مجموعة $ A $ تحتوي $ C $ وتقع بين $ C $ وإغلاقها، \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] فإن $ A $ تكون هي الأخرى مجموعة متصلة من $ X $.

بفكرة بسيطة، إذا بدأنا بمجموعة متصلة وأضفنا إليها فقط نقاطًا تبقى على تماس مباشر معها، من دون إدخال فجوات أو انفصالات، فلن نحصل على مجموعة غير متصلة.

فالمجموعة $ C $ متصلة منذ البداية، ولذلك لا تقبل أي فصل داخلي. كما أن المجموعة $ A $ تحتوي $ C $، أي إننا لم نحذف منها أي جزء.

ومن جهة أخرى، بما أن $ A $ محتواة في إغلاق $ C $، فإنها لا يمكن أن تضم إلا نقاطًا غير معزولة عن $ C $، أي نقاطًا يكون كل جوار مفتوح لها متقاطعًا مع $ C $.

لهذا السبب، تنتقل خاصية الاتصال من $ C $ إلى $ A $.

مثال توضيحي
البرهان

مثال توضيحي

لننظر إلى الفضاء الطوبولوجي $ X = \mathbb{R} $ المجهز بالطوبولوجيا الاعتيادية، ولتكن $ C $ فترة مفتوحة.

$$ C = (0,1) $$

المجموعة $ C $ متصلة في $ \mathbb{R} $، لأن كل فترة في المستقيم الحقيقي هي مجموعة متصلة.

إغلاق هذه الفترة هو

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

نختار الآن مجموعة $ A $ تحقق الشرط $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. على سبيل المثال:

\[ A = (0,1] \]

في هذه الحالة نلاحظ أن

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

وكذلك

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

ومن ثم فإن المجموعة $ A = (0,1] $ تبقى متصلة في $ \mathbb{R} $.

بعبارة أخرى، انطلقنا من المجموعة المتصلة $ (0,1) $ وأضفنا إليها نقطة واحدة فقط، هي النقطة $ 1 $، وهي نقطة ملاصقة للمجموعة الأصلية. لم يظهر أي فصل جديد، ولذلك بقي الاتصال قائمًا.

البرهان

ليكن $ X $ فضاءً طوبولوجيًا، ولتكن $ C \subset X $ مجموعة متصلة، ولتكن $ A $ مجموعة تحقق

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

نريد أن نبيّن أن $ A $ متصلة في $ X $. نفترض عكس ذلك، أي نفترض أن $ A $ غير متصلة.

إذا كانت $ A $ غير متصلة، فهذا يعني وجود فصل لها، أي توجد مجموعتان مفتوحتان $ U $ و$ V $ في $ X $ بحيث:

$ U $ و$ V $ مجموعتان مفتوحتان في $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ و$ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

وبما أن $ C \subset A $، يمكن كتابة

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

كما أن هذين الجزأين لا يتقاطعان. وبما أن $ C \cap U $ و$ C \cap V $ مجموعتان مفتوحتان في $ C $ بالنسبة لطوبولوجيا الفضاء الجزئي، فإن ذلك يعطي فصلًا للمجموعة $ C $.

لكن هذا مستحيل، لأن $ C $ متصلة. لذلك لا بد أن تكون إحدى المجموعتين فارغة، ولنفرض مثلًا أن

\[ C \cap V = \varnothing \]

أي أن $ C \subset U $.

وبما أن $ A \cap V \neq \varnothing $، نختار نقطة $ x \in A \cap V $. وبما أن $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $، فإن $ x \in \operatorname{Cl}(C) $.

غير أن $ V $ مجموعة مفتوحة تحتوي $ x $، ومع ذلك فإن $ V \cap C = \varnothing $. وهذا يناقض تعريف الإغلاق، لأن كل جوار مفتوح لنقطة في الإغلاق يجب أن يتقاطع مع $ C $.

ومن ثم فإن افتراض أن $ A $ غير متصلة يؤدي إلى تناقض. وبالتالي، نستنتج أن

\[ A \ \text{متصلة في} \ X \]

وبهذا يكتمل البرهان.