اتصال الفضاءات الجزئية

نقول إن مجموعة جزئية $ A $ من فضاء طوبولوجي $ X $ متصلة فيه عندما نزوّدها بطوبولوجيا الفضاء الجزئي الموروثة من $ X $، فتغدو عندئذ فضاءً طوبولوجياً متصلاً بحد ذاتها.

يساعد هذا المفهوم على فهم كيفية سلوك المجموعات الجزئية داخل الفضاءات الطوبولوجية. فالاتصال ليس خاصية للفضاء ككل فقط، بل يمكن أن ينطبق أيضاً على أي جزء منه.

وعندما ندرس مجموعة معينة، يكون السؤال الجوهري هو ما إذا كانت تحتفظ باتصالها عند النظر إليها عبر الطوبولوجيا التي تستمدها من الفضاء الأكبر $ X $.

ملاحظة. نعتمد معياراً بسيطاً. نأخذ المجموعة $ A $ بطوبولوجيا الفضاء الجزئي، ثم نسأل إن كان من الممكن فصلها إلى مجموعتين غير فارغتين، منفصلتين، وكلتاهما مفتوحة في هذه الطوبولوجيا. فإذا نجح هذا الفصل، كان $ A $ غير متصل في $ X $. وإذا لم ينجح، كان $ A $ متصلاً.

مثال يوضح الفكرة

لننظر إلى خط الأعداد الحقيقية $ \mathbb{R} $ بطوبولوجياه المعيارية، ولنأخذ منه المجموعة الجزئية التالية:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

هذه المجموعة تشبه خطاً عددياً حذفنا منه نقطة واحدة فقط هي $ 0 $. فهي تضم الأعداد من -1 إلى 0 دون الصفر، وتضم الأعداد من 0 إلى 1 دون الصفر أيضاً.

غياب هذه النقطة الواحدة كافٍ لتقسيم المجموعة إلى جزأين منفصلين:

الفترة من -1 إلى 0 باستثناء 0
الفترة من 0 باستثناءه إلى 1

نعرف هاتين المجموعتين باسم:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

كل من $ U $ و$ V $ مفتوح في $ A $ عند استخدام طوبولوجيا الفضاء الجزئي. وهما منفصلان تماماً ولا يتقاطعان، ويُغطي اتحادهما كامل المجموعة $ A $.

وهذا هو جوهر عدم الاتصال: وجود مجموعتين مفتوحتين، منفصلتين وغير فارغتين، يُكوّنان معاً المجموعة كلها.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

وبالتالي فإن الفضاء الجزئي $ A $ غير متصل داخل $ \mathbb{R} $.