Sürekli Fonksiyonlarda Bağlantılılığın Korunması

Eğer $ X $ bağlantılı bir topolojik uzay ve $ f : X \to Y $ sürekli bir fonksiyon ise, $ f(X) $, $ Y $ içinde bağlantılı bir altkümedir.

Başka bir ifadeyle, bağlantılı bir kümenin sürekli görüntüsü bağlantılı kalır.

Bağlantılı bir uzay olan $ X $ üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyon $ f $ uygulandığında, elde edilen görüntü kümesi $ f(X) $ bağlantılılığını yitirmez. Süreklilik, bir uzayı kendi başına parçalara ayırabilecek bir özellik değildir.

Bu nedenle bağlantılılık, sürekli fonksiyonlar altında korunur.

Bağlantılı ne demektir? Bir topolojik uzay, boş olmayan ve birbirinden ayrık iki açık kümenin birleşimi biçiminde yazılamıyorsa bağlantılı olarak adlandırılır. Örneğin bir doğru parçası bağlantılı bir nokta kümesidir. Buna karşılık, birbirinden yalıtılmış iki nokta bağlantısız bir uzay oluşturur.

Somut bir örnek
İspat

Somut bir örnek

Aşağıdaki topolojik uzayı ele alalım

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

Kapalı aralık $ [0,1] $ bağlantılıdır. Sezgisel olarak bu aralık, arada boşluk ya da kopukluk bulunmayan, tek parça bir bütün olarak düşünülebilir.

Şimdi $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ fonksiyonunu tanımlayalım

$$ f(x) = 2x $$

Bu fonksiyon süreklidir ve aralığın görüntüsü

$$ f([0,1]) = [0,2] $$

şeklindedir.

Görüldüğü gibi görüntü kümesi $ f(X) = [0,2] $ de bağlantılıdır.

Dolayısıyla bu örnekte bağlantılılık korunmaktadır.

Not. Bir kümenin bağlantılı olmadığını göstermek için, ayrık ( $ U \cap V = \emptyset $ ), boş olmayan ( $ U \ne \emptyset $, $ V \ne \emptyset $ ) iki açık küme $ U $ ve $ V $ bulunmalı ve bu iki kümenin birleşimi tüm $ f(X) $ kümesini kapsamalıdır, yani $ f(X) \subset U \cup V $ olmalıdır. Burada bu mümkün değildir. Çünkü $ [0,2] $ aralığıyla kesişen ayrık iki açık küme, kaçınılmaz olarak aralığın en az bir noktasını dışarıda bırakır. Bu ise bir gerçek aralığın topolojik olarak ayrılması anlamına gelir ki bu mümkün değildir. Sonuç olarak $ [0,2] $ bağlantılıdır.

Örnek 2

Yine aynı topolojik uzayı ele alalım: $ X $

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

$ [0,1] $ aralığı bağlantılıdır.

$ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ fonksiyonunu

$$ f(x) = 0 $$

şeklinde tanımlayalım.

$ f $ fonksiyonu süreklidir ve görüntüsü

$$ f(X) = \{ 0 \} $$

kümesidir.

Geometrik olarak, $ [0,1] $ aralığı tamamen büzülerek tek bir noktaya ($ 0 $) indirgenmiştir.

Buna rağmen görüntü kümesi $ f(X) $ bağlantılıdır. Çünkü $ \{ 0 \} $ boş olmayan, tek elemanlı bir kümedir ve iki ayrık altkümeye ayrılması mümkün değildir.

Dolayısıyla bu örnekte de görüntünün bağlantılılığı korunur.

Not. Fonksiyon aralığı büzmüş ya da farklı noktaları özdeşleştirmiş olabilir, ancak onu parçalamamıştır. Bir aralık üzerinde tanımlı herhangi bir sürekli fonksiyon, bu aralığı ayrı parçalara bölemez ve bağlantısız bir küme ortaya çıkaramaz. Uzay sıkıştırılabilir veya boyutu azaltılabilir, fakat bağlantılılık ortadan kaldırılamaz. Bağlantısız bir görüntü ancak bir süreksizlik sonucu ortaya çıkar.

İspat

İspat çelişki yöntemiyle yapılır.

$ X $ bağlantılı bir uzay olsun ve sürekli görüntüsü $ f(X) $ bağlantılı olmasın varsayımını yapalım.

Eğer $ f(X) $ bağlantılı değilse, $ f(X) $ kümesini ayıran iki açık küme $ U $ ve $ V $ vardır. Yani $ f(X) \subset U \cup V $ olup, $ f(X) $ içindeki her nokta ya $ U $'ya ya da $ V $'ye aittir, fakat her ikisine birden ait değildir.

Buradaki temel nokta şudur. $ f $ sürekli bir fonksiyon olduğundan, açık bir kümenin ters görüntüsü de açıktır. Dolayısıyla:

$ f^{-1}(U) $, $ X $ içinde açık bir kümedir
$ f^{-1}(V) $, $ X $ içinde açık bir kümedir

Buradan bir çelişki ortaya çıkar.

Çünkü $ U $ ve $ V $, $ f(X) $ kümesinden noktalar içerdiği için, $ f^{-1}(U) $ ve $ f^{-1}(V) $ boş değildir, birbirinden ayrıdır ve birlikte tüm $ X $ uzayını kaplar.

Bu durum, $ X $'in boş olmayan ve ayrık iki açık kümenin birleşimi olarak yazılabildiği anlamına gelir.

Oysa bu, $ X $'in bağlantılı olduğu varsayımıyla çelişir.

Ortaya çıkan çelişki, başlangıç varsayımının yanlış olduğunu gösterir. Sonuç olarak, bağlantılı bir kümenin sürekli görüntüsü bağlantılıdır.

Not. Başka bir ifadeyle, sürekli bir fonksiyon bir uzayı eğebilir veya sıkıştırabilir, ancak onda boşluklar ya da kopukluklar oluşturamaz. Bir uzayın ayrı parçalara ayrılması için mutlaka bir süreksizlik gerekir.

Ve devamı.