Bağlanırlık ve Kapanış

$ X $ bir topolojik uzay ve $ C $, $ X $ içinde bağlanır bir altküme olsun. Eğer bir $ A $ kümesi $ C $’yi içeriyor ve aynı zamanda $ C $’nin kapanışı içinde yer alıyorsa, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] bu durumda $ A $ da $ X $’in bağlanır bir altkümesidir.

Bu sonucun arkasındaki fikir oldukça doğaldır. Bağlanır bir kümeden yola çıkıp, yalnızca onunla temasını sürdüren noktaları eklediğimizi düşünelim. Arada boşluklar ya da kopukluklar oluşturmadığımız sürece, ortaya çıkan kümenin bağlanırlığını kaybetmesi mümkün değildir.

Gerçekten de $ C $ kümesi baştan itibaren bağlanırdır, yani kendi içinde bir ayrışmaya izin vermez. Öte yandan $ A $ kümesi $ C $’yi içerdiği için, başlangıç kümesinden herhangi bir nokta çıkarılmış da değildir.

$ A $’nın $ C $’nin kapanışı içinde yer alması kritik bir noktadır. Bu durum, $ A $’ya eklenen her noktanın $ C $’den tamamen kopuk olmadığını garanti eder. Daha açık bir ifadeyle, $ A $’daki her yeni noktanın her açık komşuluğu mutlaka $ C $ ile kesişir.

Bu nedenle $ C $’nin bağlanırlık özelliği, doğal ve kaçınılmaz bir biçimde $ A $’ya da aktarılır.

Somut bir örnek
İspat

Somut bir örnek

Standart topoloji ile donatılmış $ X = \mathbb{R} $ topolojik uzayını ele alalım ve $ C $’yi bir aralık olarak seçelim.

$$ C = (0,1) $$

$ C $ kümesi $ \mathbb{R} $ içinde bağlanırdır. Bunun nedeni, gerçek sayılar doğrusu üzerindeki her aralığın bağlanır bir altküme olmasıdır.

$ C $’nin kapanışı

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Şimdi $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $ koşulunu sağlayan bir $ A $ kümesi seçelim. Örneğin:

\[ A = (0,1] \]

Bu seçimde $ C $, açıkça $ A $’nın bir altkümesidir:

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

Aynı zamanda $ A $, $ C $’nin kapanışının da bir altkümesidir:

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Dolayısıyla $ A = (0,1] $ kümesi de $ \mathbb{R} $ içinde bağlanırdır.

Başka bir deyişle, bağlanır olan $ (0,1) $ aralığından başlanmış ve yalnızca tek bir nokta, yani $ 1 $, eklenmiştir. Bu nokta başlangıçtaki küme ile doğrudan temas hâlindedir. Araya herhangi bir kopukluk girmemiştir.

Bu yüzden $ A $ kümesi $ \mathbb{R} $ içinde bağlanırlığını korur.

İspat

$ X $ bir topolojik uzay ve $ C \subset X $ bağlanır bir altküme olsun.

$ A $ kümesi için

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

koşulunun sağlandığını varsayalım.

$ A $’nın $ X $ içinde bağlanır olduğunu göstermek için çelişki yöntemini kullanalım ve tersini, yani $ A $’nın bağlanır olmadığını kabul edelim.

Eğer $ A $ bağlanır değilse, $ A $’nın bir ayrımı vardır. Bu durumda $ X $ içinde açık olan $ U $ ve $ V $ kümeleri bulunur ve şu koşullar sağlanır:

$ U $ ve $ V $, $ X $’in açık altkümeleridir
$ A \subset U \cup V $, yani $ U \cup V $, $ A $’yı örter
$ A \cap U \neq \varnothing $ ve $ A \cap V \neq \varnothing $
$ (A \cap U) \cap (A \cap V) = \varnothing $, başka bir deyişle $ U $ ve $ V $, $ A $ üzerinde kesişmez

Şimdi $ C $ kümesini ele alalım.

$ C \subset A $ olduğundan

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

yazılabilir.

Ayrıca

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]

olur.

Dolayısıyla $ C $, iki ayrık altkümelerin birleşimi olarak ifade edilmiş olur.

$ C \cap U $ ve $ C \cap V $ kümeleri, altuzay topolojisine göre $ C $ içinde açıktır. Çünkü her ikisi de $ X $’in açık kümeleriyle $ C $’nin kesişimidir.

Bu iki küme boş olmasaydı, $ C $ için bir ayrım elde edilmiş olurdu.

Ancak $ C $ bağlanırdır ve böyle bir ayrımı kabul etmez.

Bu nedenle, bu iki kümeden biri zorunlu olarak boştur:

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{veya} \quad C \cap V = \varnothing \]

Genelliği bozmadan

\[ C \cap V = \varnothing \]

olduğunu varsayalım.

Bu durumda $ C $, tamamen açık küme $ U $ içinde yer alır:

\[ C \subset U \]

Öte yandan $ A \cap V \neq \varnothing $ olduğundan

\[ x \in A \cap V \]

şeklinde bir $ x $ noktası seçilebilir.

$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ koşulundan

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

sonucu elde edilir.

Ancak $ x \in V $’dir ve $ V $, $ X $ içinde açık bir kümedir. Dolayısıyla $ V $, $ x $’in açık bir komşuluğudur.

Öte yandan $ V \cap C = \varnothing $ olduğundan, bu açık komşuluk $ C $ ile kesişmez.

Tanım gereği, bir nokta ancak ve ancak her açık komşuluğu $ C $ ile kesişiyorsa $ \operatorname{Cl}(C) $’ye aittir.

Bu durumda $ x $, $ C $’nin kapanışında yer alamaz:

\[ x \in V \ \text{açık}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

Bu sonuç, daha önce elde edilen $ x \in \operatorname{Cl}(C) $ ifadesiyle çelişir.

Dolayısıyla $ A $’nın bağlanır olmadığı varsayımı yanlıştır. Bunun karşıtı geçerlidir:

\[ A \ \text{$ X $ içinde bağlanırdır} \]

İspat tamamlanmıştır.

Ve devamı.