Altuzayların Bağlılığı

Bir topolojik uzay $ X $ içindeki $ A $ altkümesi, $ X $'ten aldığı altuzay topolojisi altında tek bir bütün halinde kalıyorsa, yani kendi başına bağlı bir uzay oluşturuyorsa, $ X $ içinde bağlı kabul edilir.

Bu yaklaşım, bağlılığın yalnızca tüm uzaylar için değil, herhangi bir altküme için de anlamlı bir kavram olduğunu gösterir. Böylece bir kümenin, içinde bulunduğu topolojik yapıya göre nasıl davranacağını daha ayrıntılı şekilde inceleyebiliriz.

Sormamız gereken temel soru şudur: Bir altküme, $ X $'in indüklediği topoloji altında hâlâ kesintisiz bir bütün gibi görünür mü?

Not. İzlenen yöntem nettir: Küme $ A $, altuzay topolojisiyle değerlendirilir ve bu topolojide $ A $'nın birbirinden ayrık, boş olmayan iki açık kümenin birleşimi şeklinde yazılıp yazılamayacağına bakılır. Böyle bir ayrışım yapılabiliyorsa $ A $ bağlı değildir. Eğer yapılamıyorsa, $ A $ bağlıdır.

Uygulamalı bir örnek

Gerçek sayı doğrusu $ \mathbb{R} $'de aşağıdaki altkümeyi ele alalım:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Bu kümenin ilginç yanı, yalnızca bir tek noktayı, yani $ 0 $'ı dışarıda bırakmasıdır.

-1 ile 0 arasındaki sayılar (0 hariç) ve 0 ile 1 arasındaki sayılar (yine 0 hariç) bu kümenin içindedir. Dolayısıyla tek bir noktanın yokluğu, kümeyi doğal biçimde iki parçaya ayırır.

-1 ile 0 arasındaki yarı kapalı aralık
0 ile 1 arasındaki yarı açık aralık

Bu iki küme şöyle tanımlanır:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Altuzay topolojisine göre $ U $ ve $ V $, $ A $ içinde açık altkümelerdir. Birbirleriyle kesişmezler, aralarında hiçbir ortak nokta yoktur ve birlikte $ A $'nın tamamını oluştururlar.

Bu durum, bağlı olmayan bir altuzayın tipik bir örneğidir.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Sonuç olarak $ A $, gerçek sayı doğrusu içinde bağlı değildir.