連続写像による連結性の不変性

位相空間 $ X $ が連結であり、写像 $ f : X \to Y $ が連続であるとき、その像 $ f(X) $ は $ Y $ における連結な部分集合である。

言い換えると、連結な集合に連続写像を施しても、その連結性は失われない。

連結な位相空間 $ X $ に連続写像 $ f $ を適用した場合、得られる点集合 $ f(X) $ が途中で分断されることはない。連続性という条件だけでは、空間を複数の互いに切り離された部分へ分けることはできないからである。

この意味で、連結性は連続写像のもとで不変な性質であると言える。

連結とは何か 位相空間が連結であるとは、それを二つの空でない互いに交わらない開集合の和として表すことができないことを指す。例えば、実数直線上の線分は連結な集合である。一方、互いに離れた二点だけからなる集合は、連結ではない。

具体例
証明

具体例

次の位相空間を考える。

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

閉区間 $ [0,1] $ は連結である。直感的には、途中に切れ目のない一つのまとまりとして理解できる。

ここで、写像 $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ を次のように定める。

$$ f(x) = 2x $$

この写像は連続であり、区間の像は次のようになる。

$$ f([0,1]) = [0,2] $$

得られた集合 $ f(X) = [0,2] $ も、やはり連結である。

この例から、連結性が連続写像によって保たれていることが分かる。

注集合が連結でないことを示すには、互いに交わらない二つの開集合 $ U $ と $ V $ が存在し、$ U \cap V = \emptyset $、$ U \ne \emptyset $、$ V \ne \emptyset $ を満たし、かつ $ f(X) \subset U \cup V $ が成り立つ必要がある。しかし区間 $ [0,2] $ に対しては、そのような分離は不可能である。実際、区間と交わる互いに素な二つの開集合を取ると、必ず区間内のどこかが欠けてしまう。これは実数の区間が分断できないという基本的な性質に反する。

例 2

再び位相空間 $ X $ を考える。

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

区間 $ [0,1] $ は連結である。

次に、写像 $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ を次で定義する。

$$ f(x) = 0 $$

この写像は連続であり、その像は

$$ f(X) = \{ 0 \} $$

となる。幾何学的には、区間全体が一点（$ 0 $）に押し縮められた状況を表している。

しかし、この場合でも像 $ f(X) $ は連結である。単一点集合 $ \{ 0 \} $ は空でなく、そもそも二つの互いに離れた部分に分けることができないからである。

したがって、たとえ区間が一点に縮退しても、連結性は失われない。

注この写像は区間を強く圧縮しているが、切断しているわけではない。区間上で定義された連続写像は、点を同一視したり、全体を縮めたりすることはできても、空間を分断して非連結な集合を作り出すことはできない。非連結な像を得るためには、不連続な操作が必要となる。

証明

この事実は背理法によって示すことができる。

$ X $ は連結であるにもかかわらず、その連続像 $ f(X) $ が連結でないと仮定する。

もし $ f(X) $ が連結でなければ、$ f(X) $ を分離する二つの開集合 $ U $ と $ V $ が存在する。すなわち、$ f(X) \subset U \cup V $ であり、各点は $ U $ または $ V $ のどちらか一方に属し、両方に同時に属することはない。

ここで重要なのは連続性である。写像 $ f $ が連続であるため、開集合の逆像は再び開集合となる。したがって

$ f^{-1}(U) $ は $ X $ の開集合
$ f^{-1}(V) $ も $ X $ の開集合

が成り立つ。

さらに、$ U $ と $ V $ が $ f(X) $ の点を含むことから、$ f^{-1}(U) $ と $ f^{-1}(V) $ はいずれも空でなく、互いに交わらず、その和は $ X $ 全体を覆う。

これは、$ X $ が二つの空でない互いに素な開集合に分解できることを意味する。

しかしこれは、$ X $ が連結であるという仮定に反する。

この矛盾により、仮定は誤りであることが分かる。したがって、連結な集合の連続像は必ず連結である。

注別の言い方をすれば、連続写像は空間を曲げたり圧縮したりすることはできても、隙間や断裂を作り出すことはできない。空間を分断するには、不連続性が不可欠である。

以下同様。