連結と閉包
位相空間 \( X \) を考え，その部分集合 \( C \) が連結であるとする。集合 \( A \) が \( C \) を含み，さらに \( C \) の閉包に含まれている，すなわち \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] を満たすとき，集合 \( A \) もまた \( X \) において連結である。
直感的に理解すると，連結な集合から出発し，その集合と切り離されていない点だけを付け加えていく限り，新たな分断や切れ目が生じることはない。その結果として得られる集合も，やはり連結である。
実際，\( C \) はすでに連結であり，内部に分離を持たない。また，集合 \( A \) は \( C \) を含んでいるため，点を削除する操作も行われていない。
さらに，\( A \) は \( C \) の閉包に含まれているので，\( C \) から孤立した点を含むことはできない。つまり，\( A \) の各点は，どのような開近傍を取っても必ず \( C \) と交わる。この性質により，\( C \) の連結性は自然な形で \( A \) に引き継がれる。
具体的な例
標準位相を備えた実数直線 \( X = \mathbb{R} \) を考え，次の区間を取る。
$$ C = (0,1) $$
実数直線上の区間は連結であるため，集合 \( C \) は \( \mathbb{R} \) における連結部分集合である。
この集合の閉包は次のようになる。
\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]
ここで，\( C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \) を満たす集合として，例えば
\[ A = (0,1] \]
を考える。
このとき，
$$ (0,1) \subset (0,1] $$
であり，確かに \( C \subset A \) が成り立つ。また，
$$ (0,1] \subset [0,1] $$
より，\( A \) は \( C \) の閉包に含まれている。
したがって，集合 \( A = (0,1] \) もまた \( \mathbb{R} \) において連結である。
これは，連結な集合 \( (0,1) \) に対して，その集合と直接つながっている点 \( 1 \) を一つ付け加えただけであり，集合を分断するような操作は行われていないためである。
証明
位相空間 \( X \) と，その連結部分集合 \( C \subset X \) を考える。さらに，
\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]
を満たす集合 \( A \) を取る。
\( A \) が連結であることを示すため，背理法を用いて，\( A \) が連結でないと仮定する。
\( A \) が連結でないならば，\( A \) には 分離 が存在する。すなわち，位相空間 \( X \) の開集合 \( U \) と \( V \) が存在して，
- \( A \subset U \cup V \)
- \( A \cap U \neq \varnothing \)，かつ \( A \cap V \neq \varnothing \)
- \( A \cap U \cap V = \varnothing \)
が成り立つ。
\( C \subset A \) であることから，
\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]
と書ける。また，
\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = \varnothing \]
である。
集合 \( C \cap U \) と \( C \cap V \) は，いずれも \( X \) の開集合との交わりであるため，部分空間位相に関して \( C \) の開集合である。もし両方が空でなければ，\( C \) は二つの開集合によって分離されることになる。
しかし，\( C \) は連結であるため，そのような分離は存在しない。したがって，
\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{または} \quad C \cap V = \varnothing \]
のいずれかが成り立つ。
一般性を失わずに \( C \cap V = \varnothing \) と仮定すると，\( C \subset U \) となる。
一方，\( A \cap V \neq \varnothing \) であるから，ある点 \( x \in A \cap V \) を取ることができる。
\( A \subset \operatorname{Cl}(C) \) より，\( x \in \operatorname{Cl}(C) \) である。しかし，\( V \) は開集合であり，しかも \( V \cap C = \varnothing \) であるため，\( V \) は \( x \) の開近傍であって \( C \) と交わらない。
これは，閉包の定義に反する。すなわち，閉包に属する点は，その任意の開近傍が必ず元の集合と交わらなければならない。
この矛盾から，\( A \) が連結でないという仮定は誤りであることが分かる。
従って，
\[ A \ \text{は} \ X \ \text{において連結である} \]
ことが示された。
以上で証明を終える。
