部分集合の連結性

位相空間 $ X $ の部分集合 $ A $ が、$ X $ から誘導される部分空間位相の下で連結な位相空間として成り立つとき、$ A $ は $ X $ において連結であると言う。

連結性という概念は、一つの空間全体だけに適用されるものではなく、その空間の中にあるさまざまな部分集合にも自然に広がる。部分集合が誘導位相のもとで連結かどうかを調べることは、位相空間論の基本であり、空間の構造を理解するうえでも重要な視点となる。

注意. 部分集合 $ A $ に誘導位相を与えたとき、$ A $ を空でない互いに素な二つの開集合に分割できるかどうかが鍵となる。もしそのような分割が可能なら $ A $ は非連結であり、可能でなければ連結である。これは標準的な判定方法で、多くの入門書でも採用されている。

具体例

よりイメージしやすい例として、通常の位相をもつ実数直線 $ \mathbb{R} $ を取り上げ、その部分集合 $ A $ を考える。

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

この集合は、数直線のちょうど真ん中にある一点、$ 0 $ を含まない。-1 から 0 の直前までと、0 の直後から 1 までの二つの区間を合わせたものと考えられる。

この一点が欠けていることで、集合 $ A $ は自然に二つの部分に分かれる。

具体的には次のように表される。

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

これら $ U $ と $ V $ は、$ A $ に誘導される部分空間位相のもとでそれぞれ開集合となる。さらに、互いに交わらず、合わせると $ A $ 全体をちょうど覆う。この状況は、部分集合が非連結である典型的なパターンとしてよく示される。

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

このことから、集合 $ A $ は実数直線 $ \mathbb{R} $ において連結ではなく、明確に二つの部分に分かれていることが分かる。