Теорема Урисона о метризации

Если топологическое пространство регулярно и обладает счётной базой, то оно метризуемо.

Проще говоря, любое регулярное топологическое пространство со счётной базой допускает введение метрики, которая порождает в точности ту же самую топологию.

• Регулярное пространство означает, что любую точку и любое не содержащее её замкнутое множество можно разделить непересекающимися открытыми множествами. Иными словами, пространство обладает достаточно хорошими свойствами отделимости.
• Счётная база означает существование счётного семейства открытых множеств, из которого можно получить все остальные открытые множества. Другими словами, вся топология строится на основе конечного или счётного набора базисных открытых множеств.

Таким образом, если пространство достаточно «хорошо устроено» с точки зрения отделимости и при этом имеет счётную базу, его топологию всегда можно описать с помощью функции расстояния.

Обратное утверждение в общем случае неверно. Из того, что пространство метризуемо, не следует, что оно обязательно обладает счётной базой. При этом любое метризуемое пространство всегда регулярно. Следовательно, регулярность является необходимым свойством метризуемых пространств, тогда как счётность базы таковым не является. Теорема Урисона формулирует достаточные условия существования метрики, но не необходимые в совокупности.

Что означает эта теорема?

Теорема Урисона отвечает на один из ключевых вопросов общей топологии: когда топологию можно задать с помощью расстояния?

В топологии расстояние вовсе не является исходным понятием. Обычно сначала задаётся семейство открытых множеств, которое определяет структуру пространства. После этого возникает вопрос: существует ли такая метрика, которая порождает именно эту топологию?

Теорема Урисона даёт точный ответ. Если пространство удовлетворяет двум условиям, то соответствующая метрика обязательно существует.

• Пространство регулярно. Для любой точки и любого не содержащего её замкнутого множества существуют непересекающиеся открытые множества, разделяющие их.
• Пространство обладает счётной базой. Вся топология порождается счётным семейством открытых множеств.

Если оба условия выполнены, пространство является метризуемым, то есть существует метрика, порождающая исходную топологию.

Почему это важно? Теорема устанавливает глубокую связь между топологией и метрической геометрией. Благодаря ей многие абстрактные топологические пространства можно изучать с помощью привычных понятий расстояния, предела, непрерывности и сходимости. Именно поэтому теорема Урисона занимает центральное место в общей топологии и функциональном анализе.

Конкретный пример

Рассмотрим числовую прямую ℝ со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами.

Это пространство удовлетворяет обоим условиям теоремы Урисона:

• оно регулярно;
• оно обладает счётной базой, например базой из интервалов с рациональными концами.

Следовательно, по теореме Урисона числовая прямая ℝ метризуема. В качестве метрики здесь используется обычное евклидово расстояние

$$ d(x, y) = |x - y|. $$

Именно эта метрика порождает стандартную топологию на множестве действительных чисел.

Примечание. Стандартная топология на ℝ определяется тем, что каждое открытое множество является объединением открытых интервалов вида (a, b).
Точка $ x $ принадлежит открытому множеству $ A $, если существует число $ \varepsilon > 0 $, такое, что интервал $ (x - \varepsilon, x + \varepsilon) $ полностью содержится в $ A $. Именно эта топология естественным образом возникает из евклидовой метрики $ |x - y| $ и используется практически во всех разделах математического анализа.
 

Пример 2

Теперь рассмотрим множество ℝ с дискретной топологией.

Это пространство также является метризуемым. Для этого достаточно определить дискретную метрику:

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0, & \text{если } x = y \\ \\
1, & \text{если } x \ne y.
\end{cases}
$$

Однако дискретная топология на ℝ не обладает счётной базой. Причина проста: каждое одноточечное множество является открытым, поэтому любая база обязана содержать все одноточечные множества. Поскольку множество действительных чисел несчётно, такой базы не может быть счётное число.

Этот пример показывает, что обратное утверждение теоремы неверно: метризуемое пространство вовсе не обязано иметь счётную базу.

Примечание. Дискретная топология является самой сильной, или наиболее тонкой, топологией на данном множестве. В ней каждое подмножество одновременно открыто и замкнуто. В частности, каждое одноточечное множество открыто, то есть $$ {x} \text{ открыто для любого } x \in \mathbb{R}. $$ В такой топологии все точки являются изолированными. Несмотря на простоту этой конструкции, на несчётном множестве, таком как ℝ, дискретная топология не может быть порождена счётной базой.