База топологии, порождённой метрикой
В метрическом пространстве \((X,d)\) семейство всех открытых шаров $$ \mathcal{B}=\{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X,\ \varepsilon>0\} $$ образует базу топологии на множестве \(X\). Топология, определяемая таким образом, называется метрической топологией.
Эта теорема является одним из фундаментальных результатов общей топологии. Она показывает, что любое открытое множество метрического пространства можно получить как объединение открытых шаров. Иначе говоря, именно открытые шары служат основными геометрическими элементами, из которых строится вся метрическая топология.
Семейство множеств \(\mathcal{B}\) называется базой топологии, если каждое открытое множество представимо в виде объединения элементов этого семейства.
Для того чтобы семейство множеств являлось базой, должны выполняться два условия:
- Свойство покрытия. Каждая точка \(x\in X\) должна принадлежать хотя бы одному элементу базы.
- Свойство пересечения. Если точка \(x\) принадлежит пересечению двух элементов базы, то существует третий элемент базы, содержащий точку \(x\) и полностью лежащий внутри этого пересечения.
Теорема утверждает, что семейство всех открытых шаров удовлетворяет обоим условиям. Поэтому именно открытые шары образуют базу метрической топологии.
Напомним, что открытый шар с центром в точке \(x\) и радиусом \(\varepsilon>0\) определяется формулой $$ B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}. $$ Иными словами, открытый шар состоит из всех точек, расстояние от которых до точки \(x\) строго меньше \(\varepsilon\).
С геометрической точки зрения теорема означает, что любое открытое множество можно представить как совокупность открытых шаров, подобно тому как здание строится из отдельных кирпичей.
Пример
Рассмотрим следующее подмножество плоскости \(\mathbb{R}^2\):
$$ A=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid 1
Это множество состоит из всех точек, расстояние от которых до начала координат больше 1 и меньше 2.
Геометрически оно представляет собой кольцо, то есть область между двумя концентрическими окружностями радиусов 1 и 2.
Поскольку граничные окружности не входят в множество, множество \(A\) является открытым.
Можно ли представить это кольцо как объединение открытых шаров?
Согласно теореме о базе, можно.
Выберем любую точку внутри кольца и построим вокруг неё открытый шар настолько малого радиуса, чтобы он полностью оставался внутри множества.
Например, возьмём точку \(p_1=(1.5,0)\) и радиус \(\varepsilon_1=0.3\):
$$ B_d((1.5,0),0.3)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid d((1.5,0),(x_1,x_2))<0.3\}. $$
Этот открытый шар полностью содержится в кольце.
Теперь рассмотрим другую точку, \(p_2=(-1.5,0)\), и радиус \(\varepsilon_2=0.4\):
$$ B_d((-1.5,0),0.4)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid d((-1.5,0),(x_1,x_2))<0.4\}. $$
Этот шар также целиком лежит внутри кольца.
Продолжая этот процесс, можно разместить открытые шары по всей области кольца, каждый раз выбирая радиус достаточно малым, чтобы шар не пересекал его границы.
В результате открытые шары покрывают каждую точку множества \(A\).
Это записывается следующим образом:
$$ A=\bigcup_i B_d(x_i,\varepsilon_i). $$
При этом каждый центр \(x_i\) принадлежит кольцу, а радиус \(\varepsilon_i\) выбирается так, чтобы $$ B_d(x_i,\varepsilon_i)\subseteq A. $$
Этот пример наглядно иллюстрирует общий принцип: любое открытое множество метрического пространства можно представить как объединение открытых шаров.
Именно поэтому открытые шары считаются фундаментальными строительными элементами метрической топологии.
Доказательство
Докажем, что семейство всех открытых шаров метрического пространства \((X,d)\) действительно образует базу некоторой топологии на множестве \(X\).
Для этого достаточно проверить два свойства базы.
Каждая точка принадлежит элементу базы
Пусть \(x\in X\).
Для любого \(\varepsilon>0\) открытый шар \(B_d(x,\varepsilon)\) принадлежит семейству \(\mathcal{B}\).
Кроме того, $$ d(x,x)=0<\varepsilon, $$ следовательно, $$ x\in B_d(x,\varepsilon). $$
Таким образом, каждая точка множества \(X\) принадлежит хотя бы одному элементу базы. Следовательно, свойство покрытия выполнено.
Свойство пересечения
Пусть \(B_1\) и \(B_2\) являются двумя открытыми шарами, причём
$$ x\in B_1\cap B_2. $$
Покажем, что существует открытый шар с центром в точке \(x\), полностью содержащийся в пересечении этих шаров.
Так как \(x\in B_1\), существует радиус \(\delta_1>0\), для которого
$$ B_d(x,\delta_1)\subseteq B_1. $$
Аналогично, из условия \(x\in B_2\) следует существование радиуса \(\delta_2>0\), такого что
$$ B_d(x,\delta_2)\subseteq B_2. $$
Выберем меньший из двух радиусов:
$$ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. $$
Тогда любая точка шара \(B_d(x,\delta)\) принадлежит одновременно шарам \(B_1\) и \(B_2\). Следовательно,
$$ B_d(x,\delta)\subseteq B_1\cap B_2. $$
Следовательно, выполняется и свойство пересечения.
Поскольку выполнены оба свойства базы, семейство всех открытых шаров действительно является базой топологии на множестве \(X\).
Именно эта топология называется метрической топологией, порождённой метрикой \(d\).
