Метрическое пространство является хаусдорфовым

Всякое метрическое пространство является хаусдорфовым пространством. Поэтому если топологическое пространство не обладает свойством Хаусдорфа, оно не может быть метризуемым.

Одним из важнейших свойств метрических пространств является свойство Хаусдорфа. Оно означает, что любые две различные точки можно разделить непересекающимися окрестностями.

Иными словами, если расстояние между точками определено, то для каждой пары различных точек всегда можно найти два открытых множества, каждое из которых содержит только одну из этих точек и не пересекается с другим.

Примечание. Свойство Хаусдорфа должно выполняться для любой пары различных точек пространства, а не только для некоторых из них.

Практический пример

Рассмотрим евклидову плоскость \(\mathbb{R}^2\) со стандартной евклидовой метрикой \(d(x,y)\), где \(x=(x_1,x_2)\) и \(y=(y_1,y_2)\) обозначают две точки плоскости. Расстояние между ними вычисляется по формуле:

$$ d(x,y)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}. $$

Вместе с этой метрикой множество \(\mathbb{R}^2\) образует метрическое пространство.

Покажем, почему оно является хаусдорфовым.

Пусть заданы две различные точки \(A\) и \(B\). Тогда расстояние между ними положительно:

$$ d(A,B)>0. $$

Выберем радиус

$$ r=\frac{d(A,B)}{2}. $$

Теперь рассмотрим два открытых шара:

• \(U=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,A)
• \(V=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,B)

Каждый шар содержит только точки, расположенные достаточно близко к своему центру. Поскольку радиус равен половине расстояния между центрами, эти шары не могут пересекаться:

$$ U\cap V=\varnothing. $$

Действительно, если бы существовала точка, принадлежащая одновременно обоим шарам, то по неравенству треугольника расстояние между \(A\) и \(B\) оказалось бы меньше \(d(A,B)\), что невозможно.

Поскольку такое построение можно выполнить для любой пары различных точек, пространство \(\mathbb{R}^2\) удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа.

Следовательно, евклидова плоскость является хаусдорфовым пространством.

Пример пространства, не являющегося хаусдорфовым

Рассмотрим множество действительных чисел \(\mathbb{R}\), на котором задана топология конечных дополнений.

В этой топологии множество \(U\subseteq\mathbb{R}\) считается открытым, если оно пусто либо его дополнение \(\mathbb{R}\setminus U\) конечно.

Иначе говоря, открытое множество должно содержать почти все точки множества \(\mathbb{R}\).

Пусть \(x\) и \(y\) - две различные точки.

Попробуем найти непересекающиеся открытые множества, содержащие соответственно \(x\) и \(y\).

Пусть \(U\) содержит точку \(x\), а \(V\) содержит точку \(y\).

Поскольку дополнения обоих множеств конечны, сами множества содержат почти все действительные числа. Поэтому их пересечение не может быть пустым.

Действительно, дополнение множества \(U\cap V\) равно объединению дополнений \(U\) и \(V\), а объединение двух конечных множеств снова конечно. Следовательно, \(U\cap V\) содержит бесконечно много точек.

Таким образом, пространство \((\mathbb{R},\text{топология конечных дополнений})\) не является хаусдорфовым.

Следовательно, оно не является метризуемым.

Доказательство

Пусть \((X,d)\) - метрическое пространство, а \(x\) и \(y\) - две различные точки этого пространства.

Так как точки различны, расстояние между ними положительно:

$$ \varepsilon=d(x,y)>0. $$

Рассмотрим два открытых шара радиуса \(\varepsilon/2\):

• \(U=B(x,\varepsilon/2)\);
• \(V=B(y,\varepsilon/2)\).

Предположим, что существует точка \(z\), принадлежащая обоим шарам. Тогда

• \(d(x,z)<\varepsilon/2\);
• \(d(z,y)<\varepsilon/2\).

По неравенству треугольника получаем

$$ d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon, $$

что противоречит равенству \(d(x,y)=\varepsilon\).

Следовательно, множества \(U\) и \(V\) не пересекаются.

Мы показали, что для любых двух различных точек метрического пространства всегда существуют непересекающиеся открытые множества, содержащие эти точки.

Следовательно, всякое метрическое пространство является хаусдорфовым.

И так далее.