Ограниченное множество в метрическом пространстве

В метрическом пространстве \((X, d)\), где \(d\) обозначает метрику, задающую расстояние между точками, подмножество \(A \subseteq X\) называется ограниченным, если существует число \(\mu > 0\), такое что для любых точек \(x, y \in A\) выполняется неравенство \(d(x, y) \leq \mu\).

Проще говоря, расстояние между любыми двумя точками множества \(A\) не превышает некоторого фиксированного значения \(\mu\).

Если этим свойством обладает всё пространство \(X\), то метрика \(d\) называется ограниченной.

Иными словами, существует общий верхний предел для расстояний между любыми двумя точками пространства.

Примечание. Если метрика \(d\) ограничена, то любое подмножество пространства \(X\) также автоматически является ограниченным, поскольку расстояния между его точками не могут быть больше расстояний, существующих во всём пространстве.

Пример

Рассмотрим декартову плоскость \(\mathbb{R}^2\) с евклидовой метрикой.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Пусть множество \(A\) состоит из всех точек круга радиуса \(10\) с центром в начале координат:

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

Чтобы доказать, что множество ограничено, необходимо найти число \(\mu > 0\), которое ограничивает расстояние между любой парой его точек.

В данном случае наибольшее расстояние достигается между двумя точками, лежащими на противоположных концах диаметра круга, например \((10, 0)\) и \((-10, 0)\).

Вычислим это расстояние:

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-20)^2} = 20 $$

Следовательно, максимальное расстояние между двумя точками множества \(A\) равно \(20\).

Это означает, что независимо от выбора двух точек внутри круга расстояние между ними никогда не превысит \(20\).

Следовательно, множество \(A\) является ограниченным при \(\mu = 20\).

Ограниченность метрики не влияет на топологию

Важно понимать, что ограниченность или неограниченность метрики не влияет на топологию, которую она порождает. Иными словами, от этого не зависит, какие множества считаются открытыми, а какие замкнутыми.

Что такое топология? Топология изучает свойства пространства, сохраняющиеся при непрерывных преобразованиях. При определении открытых и замкнутых множеств важны не сами числовые значения расстояний, а взаимное расположение точек и общая структура пространства.

Поэтому для любой неограниченной метрики можно построить эквивалентную ограниченную метрику, которая задаёт ту же самую топологию.

Иначе говоря, ограниченность метрики никак не изменяет систему открытых и замкнутых множеств пространства.

Пример

Чтобы превратить неограниченную метрику в ограниченную, используют преобразование, которое «сжимает» большие расстояния, не изменяя топологической структуры пространства.

Одним из наиболее распространённых является преобразование:

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

Рассмотрим, как оно работает.

Если расстояние \(d(x, y)\) невелико, то значение \(d'(x, y)\) почти совпадает с исходным.

Например, при \(d(x, y) = 1\):

$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$

Если же расстояние становится очень большим и стремится к бесконечности, то значение \(d'(x, y)\) стремится к \(1\).

Таким образом, независимо от исходных расстояний, после преобразования все они оказываются в интервале от \(0\) до \(1\).

Рассмотрим пространство \((X, d)\), в котором расстояние определяется формулой \(d(x, y) = |x - y|\), то есть обычной евклидовой метрикой на прямой.

Такая метрика не ограничена, поскольку точки могут находиться на сколь угодно большом расстоянии друг от друга.

После применения преобразования получаем:

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

Если \(x = 1\) и \(y = 2\), то:

$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$

Если же \(x = 1\) и \(y = 1000\), то:

$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0.999 $$

Следовательно, все расстояния оказываются ограничены интервалом от \(0\) до \(1\).

При этом сама топология пространства остаётся прежней, поскольку метрики \(d\) и \(d'\) определяют одну и ту же систему открытых и замкнутых множеств.

И так далее.