Изометрия метрических пространств
Два метрических пространства называются изометричными, если существует отображение \(f : X \to Y\), обладающее следующими свойствами:
- Биективность: каждому элементу множества \(X\) соответствует ровно один элемент множества \(Y\), и наоборот.
- Сохранение расстояний: для любых точек \(x_1, x_2 \in X\) расстояние между ними в пространстве \(X\) точно совпадает с расстоянием между их образами \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\) в пространстве \(Y\): $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Такое отображение называется изометрией, а сами пространства \(X\) и \(Y\) называются изометричными.
Проще говоря, изометрия позволяет определить, являются ли два метрических пространства \((X, d_X)\) и \((Y, d_Y)\) одинаковыми с точки зрения расстояний между точками. Если существует изометрия, то геометрическая структура пространств полностью совпадает: отличаются лишь обозначения точек.
- Изометричные метрические пространства всегда имеют одну и ту же топологию. Это означает, что их открытые множества совпадают, а следовательно, совпадает и топологическая структура.
- Обратное утверждение неверно. Два пространства могут иметь одну и ту же топологию, но не быть изометричными.
- Причина в том, что изометрия является более сильным условием, чем топологическая эквивалентность. При изометрии должны полностью сохраняться все расстояния между точками, тогда как топологическая эквивалентность требует лишь сохранения структуры открытых множеств.
Практический пример
Рассмотрим два метрических пространства:
- \(X = \{a, b, c\}\) с метрикой \(d_X\): $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\) с метрикой \(d_Y\): $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Определим отображение
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Проверим, сохраняются ли расстояния.
- \(d_X(a, b) = 1\), а \(d_Y(f(a), f(b)) = d_Y(p, q) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\), а \(d_Y(f(b), f(c)) = d_Y(q, r) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\), а \(d_Y(f(a), f(c)) = d_Y(p, r) = 3\)
Во всех трех случаях расстояния совпадают. Следовательно, отображение \(f\) является изометрией, а пространства \(X\) и \(Y\) изометричны.
Пример 2
Рассмотрим плоскость с двумя различными метриками:
- метрикой городских кварталов (\(d_T\));
- стандартной евклидовой метрикой (\(d\)).
Обе метрики порождают одну и ту же топологию. Это означает, что они задают одинаковое семейство открытых множеств.
Возникает вопрос: являются ли соответствующие метрические пространства изометричными?
В метрике городских кварталов расстояние между двумя точками вычисляется по формуле:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Эта метрика соответствует движению по прямоугольной сети улиц, где можно перемещаться только по горизонтали и вертикали.
Евклидова метрика, напротив, измеряет кратчайшее расстояние между двумя точками:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Предположим, что существует отображение \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), сохраняющее расстояния в обеих метриках. Проверим это предположение на двух точках:
\(A = (1,1)\) и \(B = (2,2)\).
В метрике городских кварталов получаем:
$$ d_T((2,2),(1,1)) = |2-1| + |2-1| = 2 $$
В евклидовой метрике:
$$ d((1,1),(2,2)) = \sqrt{(1-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
Полученные расстояния различны. Следовательно, не существует отображения, которое одновременно сохраняло бы расстояния в обеих метриках.
Отсюда следует важный вывод: плоскость с метрикой городских кварталов не изометрична евклидовой плоскости.
Таким образом, одинаковая топология еще не означает изометричность. Хотя метрика городских кварталов и евклидова метрика порождают одну и ту же топологию, они по-разному измеряют расстояния, поэтому соответствующие метрические пространства не являются изометричными.
И так далее.
